見つけ出す $n$ そして $d$ そのため $U_d(n)$ セットが与えられます。

Aug 16 2020

これは私が以前に投稿したこれに何らかの形で関連する投稿です。この投稿では、問題は非常にうまく解決されていますが、この現在の状況では同じアイデアを利用することはできません。

仮定します $n$ は正の整数であり、 $d$その正の約数です。場合$U(n)$ 以下のすべての正の整数のコレクションである $n$ 互いに素な $n$ そして $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ 見つけ方 $n,d$ そのような $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ 保持しますか?

明らかにここ $d$ のgcdの約数です $1-1,13-1,25-1,37-1$ すなわち $12$。そう$d=1,2,3,4,6,12$。表示する方法$d$ です $12$のみ?上記の問題では、値1と7の2つしかありませんでした。ただし、ここでは複合除数も取得しています。

それを示したら、見つける方法 $n$ それなら?

基本的に私が探しているのは、もしあれば一般的なアプローチです。誰かがこれについて私を助けてくれますか?

ポストワーク

ヒントと提案を得た後(Erik Wongとcgssの両方のおかげで)、私はこの問題を可能な限り解決しようとしています。

エリックの答えで、今私は理由を理解しています $d=12$のみ。したがって、$U_d(n)$ 今になる $U_{12}(n)$。また、$12$ 分割する必要があります $n$ そして $n>37$ との各メンバー $U_{12}(n)$ 次の形式である必要があります $12k+1$。しかしながら$25\in U_{12}(n)$ つまり、 $25\in U(n)$ など $(25,n)=1$ 意味する $(5,n)=1$。したがって、$n$ 5無料である必要があります。

それでは、 $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ どこ $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$$(2.3.5, m)=1$。次に$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ iff $(12, \frac{n}{12})=1$。これは、$a_1-2=0, a_2-1=0$ すなわち $a_1=2, a_2=1$ そのため $n$ に減少します $n=2^2 3^1 m$

したがって、 \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}

[実際の答えは $n=48, d=12$。つまり、今表示する必要があります$m=1$上記の式で。のソリューション$\varphi(m)=4$ です $m\in \{5,8,10,12\}$ しかし、どうすればここに表示できますか $m=1$?]

回答

1 ErickWong Aug 16 2020 at 12:42

私はもっ​​と長い答えを投稿しましたが、 $d \mid n$、これはかなりの数の解決策を認めています。この制約を利用すると、かなりの量の構造が得られます。$U_d(n)$ ユニットのグループのサブグループです $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$

以来 $U_d(n)$ 4つの要素があり、すべての要素には順序分割があります $4$。したがって、$n$ 両方を分割する必要があります $13^4 - 1$ そして $25^4 - 1$、その公約数は48です。 $n \ge 37$、それは正確でなければなりません $48$。私たちは簡単にそれを結論付けます$d=12$ 私たちが知ったら $n$

1 ErickWong Aug 16 2020 at 11:51

まず、の小さい値を除外しようとします $d$。それらはそれぞれ2つのカテゴリのいずれかに分類されます$d \mid 4$ そして $d \mid 6$ (これらの2つのケースは、の2つの素因数に対応します。 $12$)。

仮定します $d \mid 4$:それからその事実 $U_d(n)$ 含まれていません $5$ なぜなら $n$ で割り切れる $5$、しかし、これは矛盾します $25 \in U_d(n)$

仮定します $d \mid 6$:それからその事実 $U_d(n)$ 含まれていません $7, 19, 31$ なぜなら $n$これらすべての素数で割り切れます。しかしその後$n > 169 = 13^2$、だから避けるために $U_d(n)$ 含む $169$ 必要です $n$ で割り切れる $13$、矛盾する $13 \in U_d(n)$

今、私たちは確信しています $d=12$、の有効な選択肢がいくつかあります $n$、およびある程度のケースチェックは避けられません。まず、範囲内$37 \le n < 49$、のすべての値 $n$ 排他的素数で割り切れるものを除いて機能するはずです $5,13,37$

の値を確認したら $n \ge 49$、考慮する必要があるのは $7 \mid n$。まで$n < 61$、これは唯一のを除外するのにも十分です $12k+1$$49$ それはトラブルの原因になります。

$n \ge 61$、必要です $7 \cdot 61 \mid n$。しかし、この力$n \ge 169$、そして上記のように、これは不可能であることがわかっています。 $13 \in U_d(n)$

この議論の両方の部分の一般原則(分離 $d$ その後 $n$)非共原性による除外は、より大きな下限をもたらす傾向があるということです $n$、そして最終的には強制 $[1,n]$ 私たちが知っている素数だけで構成される数を含めること。