見つける $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \choose k}$、 いつ $n$ は正の整数です

Question

MSEの以前の質問：

検索 $\sum_{r=1}^{3n-1}{ (-1)^{r-1}r\over{3n \choose r}}$、もし $n$ でも

総和を求めることを意味しました $$S_n=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{{n \choose k}}~~~~~(1)$$ 時である $n$でも。プロシージャの制限により、正の整数でも証明できませんでした$n$。ここでは、の偶数値と奇数値の両方について、合計（1）を閉じた形式で記述できることを示します。$n$。二項係数の逆数のrhe積分表現を次のように使用しましょう。$${n \choose k}^{-1} = (n+1) \int_{0}^{1}x^k (1-x)^{n-k} dx$$ さらに、 $$\sum_{k=0}^{n}k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}-\frac{z^{n+1}}{(1-z)^2}-\frac{n z^{n+1}}{1-z}$$ 次に $$S_n=(n+1)\int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} k \left(\frac{x}{x-1}\right)^k (1-x)^n dx= (n+1)\int_{0}^{1}[-x(1-x)^{n+1}+(-1)^n x^{n+1}(1-x)+(-1)^n n x^{n+1}]dx.$$ 使用する $\int_{0}^{a} f(x) dx= \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ 2番目の積分で $$S_n=(n+1) \left(\int_{0}^{1} -x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n\int_{0}^{1} x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n n \int_{0}^{1} x^{n+1} dx \right).$$ $$\implies S_n=-(n+1)[1+(-1)^{n+1}] \int_{0}^{1} (x^{n+1}-x^{n+2}) dx+(-1)^n\frac{n(n+1)}{n+2}. $$ $$S_n=-[1+(-1)^{n+1}]\frac{n+1}{(n+2)(n+3)}+ (-1)^n \frac{n(n+1)}{n+2}~~~~(2)$$ 問題は、この結果を取得する他の方法は何ですか（2）。

Answer 1

これは、優れた指数母関数に適合します。

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{k}{\binom{n}{k}} x^n &= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1)! (n-k)! \right)\frac{x^n}{n!} \\ &= \frac{\frac{((x-3) x-2) x^2}{(x-1) (x+1)^2}+2 \log (1-x)+2 \log (x+1)}{x^3} \end{align*}$$ここで、2行目はMathematicaが吐き出すものです。おそらく、結果を手作業で再現するのは比較的簡単です。いずれにせよ、あなたはの係数を求めています$x^n$、これは、部分分数とテイラー級数でのやや退屈な運動であれば簡単です。詳細を入力して適切に整理することは、おそらく統合アプローチとほぼ同じ長さですが、これには、より一般的な母関数ツールを使用するという利点があります。