無限に長い円柱の平均曲率はどれくらいですか?

Aug 18 2020

半径の無限に長い円柱の平均曲率を計算する方法を誰かが理解するのを手伝ってくれませんか $R$?私は平均曲率の定義を次のように知っています

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

どこ $\kappa_i$ それは $i$主曲率。シリンダーが無限に長いので、$\kappa_2 = 0$(軸に沿って)。誰かがこれを確認できますか?

次に、半径を持つ無限に長い円柱の平均曲率 $R$ 単純に

$H = \frac{1}{2R}$

ご協力ありがとうございました!

回答

2 JeppeStigNielsen Aug 18 2020 at 14:06

あなたの結果は正しいです。

円筒面上の点を選択します。1つの主方向が円柱の軸に垂直であることを確信する必要があります(ただし、サーフェスのポイントから開始します)。この方向に沿って、表面は半径のある円のように見えます$R$、したがって、この方向の主曲率は $\kappa_1=\frac1R$。もう一方の主な方向は円柱の軸に平行であり、この方向に沿って、サーフェスは(ローカルでポイントの近くに)直線のように見えます。$\kappa_2=0$。だから式から$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ あなたが言及した平均曲率が得られます。

TonyKが言うように、これはあなたが選ぶどのポイントでも同じです。だからあなたが考えるなら$H$ 関数として、サーフェス上の各ポイントを実数にマッピングしてから、 $H$ 円筒面の場合、は一定です。

ご覧のとおり、平均曲率は局所的な特性であるため、円柱が無限に長いかどうかは関係ありません。検討する点の周囲に、表面が円柱である近傍がある限り、その点での平均曲率は次のようになります。$\frac1{2R}$