内積の一般性

Question

ベクトル空間の内積 $V$ （フィールド上 $F$ ）は関数です $V \times V \to F$、ベクトルの各ペアに関連付けられます $\bar{x},\bar{y}$ の $V$ スカラー量 $\langle \bar{x},\bar{y}\rangle$、および次のプロパティを満たします。 $$\langle \bar{x},\bar{x} \rangle>0$$

$$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\langle \bar{y}, \bar{x} \rangle$$

$$\langle a\bar{x}+b\bar{y},\bar{z}\rangle=a\langle \bar{x},\bar{z}\rangle+b\langle \bar{y},\bar{z}\rangle.$$

上のすべての連続関数の部分空間を考慮してください $[a,b]$ ; $\Bbb{C}$。ここで、ベクトルについて証明したい内積に関するステートメントがあったとします。$\bar{x}, \bar{y} \in \Bbb{C}.$ たとえば、次の内積を使用することを選択したとします。 $$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\int_a^bx(t)y(t) dt.$$

このステートメントがこの内積に当てはまる場合、他のすべての内積にも当てはまりますか？$\Bbb{C}$？

一般に、内積を扱う場合、その特定の状況にどのタイプの内積が便利であるかについてある程度の選択がありますが、この選択が（もしあれば）どのような影響を与える可能性がありますか？

Answer 1

いいえ、ある内積に当てはまる記述が別の内積に当てはまるとは限りません。たとえば、内部製品を使用して長さを定義できます$$ \| x \| = \langle x,x \rangle^\frac12 $$

上の標準内積の下で $\Bbb R$ （によって定義されます $(x, y) \mapsto xy$）、 我々は持っています $$ \| 2 \| = 2 $$例えば。しかし、別の内積の下では、$(x, y) \mapsto 2xy)$、 我々は持っています $$ \| 2 \| = 4. $$ 今ではかなり不自然に思えるかもしれませんが、不自然なものから不自然なものを区別するのは難しい場合があります。