なぜ「シャドウオペレーター」なのか直感的な説明 $\frac D{e^D-1}$ 対数を三角関数に接続しますか？
演算子を検討してください $\frac D{e^D-1}$ これを「シャドウ」と呼びます。
$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$
ここでの積分は、フーリエ変換として理解する必要があります。
さて、直感的に、なぜ次のようなのですか？
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$
シャドウが三角関数を逆三角関数に変換したり、対数を指数に変換したりする例は他にもあります。
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$
回答
これは基本的に、オイラーの余接部分分数展開の軽く変換されたバージョンです。 $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ （彼の有名な正弦積式の対数微分 $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$）。畳み込み級数によって、これを次のように書き直すことができます。$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ テイラーの定理により、 $e^{nD_x}$ による翻訳の操作です $n$、正式には等比数列で $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ （ちなみにオイラー-マクラウリンの公式を説明するのに役立ちます）など $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ または同等に $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ これにより、いくつかの簡単な再配置（および置換）後にIDが得られます $z$ どちらかと $z/\pi$ または $z/\pi + 1/2$）。
オイラーの部分分数同一性の主な理由は、余接関数の極と残差が簡単に識別および計算されることです。それらが合計演算子を含む式に折りたたむことができる理由$\frac{1}{1-e^{D_x}}$これらの極と留数は、最終的に余接関数の周期性に由来する並進不変性を享受するということです。ワイエルシュトラスにも同様のアイデンティティがあると思います$\wp$ 関数。これは二重周期であり、非常に特殊な極の振る舞いをします。
作戦 $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$
どこ $(b.)^n = b_n$はベルヌーイ数であり、（mod記号）はしばしばトッド演算子と呼ばれます（おそらく、トッド特性クラスを構築するためにそれを使用したヒルツェブルフによってその名前が付けられたのかもしれません）。
これには、次の便利な方法で表現できる離散化（または派生）プロパティがあります。
$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$
$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$
どこ
$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$
有名なAppellBernoulli多項式であり、egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$、および $F(x)$ の不定積分/不定積分です $f(x)$。最後の等式は、ベルヌーイ多項式の派生特性を示し、それらを完全に定義します。
これはにつながります
$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$
$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$
特に、一連の関係
$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$
$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$
$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$
適切に制限をとれば $s \to -1$、テリー・タオの答えの三角関数の級数展開とともに、そこから自然対数との関係に到達すると、特定の式を引き出すことができます。
離散化式のより洗練された実例となるアプリケーションについては、式を参照してください。1、「Khovanskii-Pukhlikov公式、非常に十分な因子Dを持つ滑らかなトーリック多様体XのHirzebruch-Riemann-Roch公式（HRR）の組み合わせの対応物...」の2ページ目$T_y$-ゴダ、カミムラ、オーモトによる「格子ポリトープ上の積分の演算子」。
ベルヌーイ多項式、アペルパワー多項式の逆シーケンスにも注意してください。
$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$
.egfで $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$、umbral組成反転によっても定義されます
$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
だから
- Appellベルヌーイ多項式の派生プロパティ
$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$
$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$
- Appell多項式列の逆対のモーメントの定義egfsの相互関係
$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$
$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$
- デュアルオペレーションの相互関係
$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$
$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$
- opsのプロパティを生成する二重多項式
$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$
$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$
- 多項式の二重集合のumbral組成逆関係
$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
- トッド演算子の離散化プロパティ
$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$
$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$
$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$
これらはすべて密接に（そして生産的に）相互に関連しており、Appellの二重性のさまざまな側面であり、メリン変換を介して一般化できます。
これがすべてではありません。関係はワイル代数、グレイブス/嘘/ピンチャール整流子、はしご操作を通じてさらに深くなりますが、この視点はすでに実りあるさらなる調査につながっています。たとえば、次のように制限内で起動するように取得します$n \to +\infty$ 離散化和の場合、ベルヌーイ多項式の一般化（内挿）としての修正されたフルヴィッツのゼータ関数、
$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$
これは、多項式のアペルシーケンスのプロパティを継承します。
「シャドウ」方程式は、次のFTを想定しているため、多少制限があります。 $f(x)$離散化プロパティを適用するための必要条件ではありません。たとえば、同様のラプラス変換アーベルプラナの公式に注意してください。
FTの正規化が異なるため、
$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$
そして
$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$
$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$
ラマヌジャン/ハーディのメリン変換補間を使用してトッド演算子の動作を特徴付けると、フルヴィッツのゼータ関数への代替の建設的なルートが得られます。
$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$
$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$
$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$
すべての実数または複素数のAppellベルヌーイ関数の級数展開 $s$ 実数または複素数 $z$ と $|z-1| < 1$ umbralbinomialexpansionによって与えられます
$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$
$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$
$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$
どこ
$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$
と $\zeta(s)$、リーマンゼータ関数。