なぜ操作で実数 $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ グループですか？
上記の操作は実数のグループです。0は単位元であり、任意の実数の負数はその逆であり、簡単に観察できます。結合性はささいなことではありませんが、それは成り立ちます。
実際、任意の奇数（5、7 ...）を3に置き換えると、操作はグループのプロパティを満たします。ただし、偶数は失敗します。
幾何学的/分析的/ ...解釈がありますか？ $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ 連想的であり、結果として、それは実数にグループの構造を与えますか？
回答
しましょう $G$ 任意のグループである、 $X$ 任意のセットであり、 $f: X \rightarrow G$任意の全単射である。次に、グループ構造をから転送できます$G$ に $X$ 設定することにより $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$。つまり、全単射を使用します$f$ の要素を識別するために $G$ およびの要素 $X$、およびグループ構造を $X$このIDを使用します。これが実際にグループ構造を定義する演習として残しておきます$X$。
さあ、 $G=(\mathbb R,+)$、 $X=\mathbb R$ そして $f(x)=x^3$ あなたのケースを回復するために。
場合 $f$ 実数の奇妙な全単射であり、その後、演算
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
実数をグループにし、 $f$実数の加法群からその群への同型。あなたの場合$f(x)=x^3$。結合性は、$f$ 準同型です。 $0$ 中立的な要素であり、 $-x$ の逆です $x$。ここにその事実$f$ 奇数が使用されます。
以下のための任意の全単射$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$、 操作 $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ に関するグループ法です $\mathbf R$。これは、各実数の名前を変更すると、$x$ なので $f(x)$ その後、元のグループ法を変換できます $+$ グループ法に $*$ そのため $f$ からの同型です $(\mathbf R, *)$ に $(\mathbf R,+)$。直感は代数的であり、幾何学的ではありません。魔法のようなものは何もありません$n$奇数のルーツ $n$ 全単射であること以外。
双曲線正接関数 $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ 加算を転送できる全単射です $\mathbf R$ 上のグループ法に $(-1,1)$これは、特殊相対性理論（1次元運動での速度の追加）で使用されます。スケーリング係数までのこの全単射の逆は、物理学では「速度」と呼ばれます。
短い答え：なぜなら $\sqrt{x^2}\ne x$ にとって $x<0$。
長い答え、私が好む $\cdot$ に $\bullet$：
満足のいく操作 $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ 実数を閉じます。 $n$ 私たちが取ることができるのは奇妙です $n$ルート、＆if $n$ 私たちも取ってみようとしています $n$何かの根 $\ge0$。それ以来$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$操作が関連付けられます。（の力をキャンセルする$n$ それ以来、些細なことです $n$ でも、 $\cdot$ 常に非負になるように定義されています $n$とにかくルートです。）したがって、少なくとも、半群を形成します。
以来 $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$、奇数の場合 $n$ 私たちも持っています $0$ アイデンティティとして、しかし $n$ なぜなら $x\cdot0=|x|$、だからそれはモノイドでさえなく、グループは言うまでもありません。最後のグループ公理は逆であり、奇数に対して機能します$n$ あなたが指摘したように、しかし $n$ 我々は持っています $x\cdot y\ge|x|$、したがって、逆関数もありません。
ヒント：
結合性は、単に両方が $\;(x\bullet y)\bullet z$ そして $\;x\bullet( y \bullet z)$ に等しい $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$