なぜすべての $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ 次のように書く $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ いくつかのための $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$？
では、量子ネットワークのための理論的枠組み証明されているリニアマップ$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ チェ演算子の場合、CP（完全に正）です $M$半明確な正です。何かがこの派生で私を混乱させます。
まず、いくつかの定義のリマインダー。
しましょう $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$、 $\{|i \rangle \}_i$ の正規直交基底である $H_0$、 我々は持っています：
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
Choi演算子は次のように定義されます。
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
彼の証明では、彼は仮定します $M \geq 0$ 目標は、それが意味することを示すことです $\mathcal{M}$ CPです。
$M$は半確定正であり、これは正の固有値を持つエルミートであることを意味します。したがって、対角化することができます。と$\lambda_i \geq 0$、 我々は持っています：
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
と $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
しかし、彼は「自動的に」それを考慮しているようです $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$。わかりません。なぜ私たちは必然的に持っているのでしょうか$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$。これは非常に特殊なケースです。状態は、最大に絡み合った状態に作用するローカル操作として記述できるのはなぜですか？
私はどんな量子状態も次のように書くことができるという非常に漠然とした記憶を持っています $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$。言い換えると、線形演算は常に存在します$K$ （もちろん、必ずしも単一ではありません） $H_1 \otimes H_0$ 次のように書くことができます $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$私はそれが問題を解決すると思います。しかし、私はその原因を見つけることができず、私は完全に間違っているかもしれません。
結局、なぜ私たちは書くことができます： $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$。その証拠が欲しいです（そして、今話したプロパティが保持されている場合は、それを表現する参照へのリンク、または回答にその証拠も必要です）
回答
しましょう $K$ ベクトルになる $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ このiasを書き直すことができます $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ これはと同じです $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ 行列を定義すると $K$ することが $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$。
チェ行列を次のように定義しました $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$。最大限に絡み合った状態を次のように書くつもりです$|\mathcal{\Omega}\rangle$ それは私にとって読みやすく、私はそれに慣れているからです。
あなたはすでにそれを指摘しました $M$ 正定値であるということは、実数値のスペクトル分解を実行できることを意味します。
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ これらを分解することができます $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$ヒルベルト空間の両方のコピーの基底のテンソル積に： $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
つまり、次のように書くことができます。\ begin {equation} \ begin {split} M =＆\ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes \ langle b ^ {i} _ {m} | \\ =＆\ sum_ {i、l、m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |。\ end {split} \ end {equation}
ご存知かもしれませんが、マップの「出力」を書くことができます $\mathcal{M}$ '入力' $\rho_{\mathrm{in}}$、したがって、 $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$、崔行列の観点から $M$：
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ ここで、トレースは2番目のサブシステムの部分トレースであり、 $T$ 上付き文字は転置を意味します。
ここで、上記の分解をプラグインします。 $M$：\ begin {equation} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left（\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right）＆= d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [M \ left（ I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right）\ big] \\＆= d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i、l、m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ left（I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right）\ big] \\＆= d \ sum_ {i、l、m} \ mathrm {tr} _ {2} \ big [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ big] \\＆= d \ sum_ {i、l、m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\＆= d \ sum_ {i、l、m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\＆= d \ sum_ {i、l、m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \\＆= \ sum_ {i} A_ {i} \ rho _ {\ mathrm {in}} A_ {i} ^ {\ dagger}、\ end {split} \ end {equation} with$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$。これはクラウス分解であり、$\mathcal{M}$ CPであること。
しましょう $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ （正規化されていない）最大に絡み合った状態を示します。
関係 $\kett X=(X\otimes I)\ket m$いくつかの単純なインデックスジャグリングに相当します。これは、同じオブジェクト、つまり同じ数値のセットを検討しているが、それを異なる方法で（ベクトルではなく演算子として）解釈していることを意味します。
これを見るには、 $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ あなたの演算子であり、その行列要素（いくつかの基準の選択で）は次のように書きます $X_{ij}$。あなたが理解できることに注意してください$X_{ij}$ 演算子として（「インデックスを送信する $j$ インデックスに $i$"）、またはのベクトルとして$H_0\otimes H_1$。より正式には、$\kett X$ の「ベクトル解釈」 $X$、 我々は持っています $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ 使用した場所 $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ したがって $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ これはしばしば次のように書かれます $\kett X=\operatorname{vec}(X)$、と $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ 「ベクトル化」操作。