根が厳密に負の虚数部を持つ多項式の特性。

Question

しましょう $P = a_0 + a_1X + ... + a_nX^n$、 といった $\forall k \in$ {{$ 0, 2 , .. , n $}、 $a_k \in \mathbb{C}$。
Pのすべての根が厳密に負の虚数部を持っている場合、次のことを証明します。
$R = \operatorname{Re}(a_0) + \operatorname{Re}(a_1)X + ... + \operatorname{Re}(a_n)X^n$ ：完全に分割 $\mathbb{R}$。
ここでは根を扱っているので、関連する根と係数の式を使用することにしました$a_i$のルーツに。私は最初にRのすべての根が実数であることを証明しようとしましたが、役に立ちませんでした。
何か案は？

Answer 1

私は次の方法を見つけました

• EVELYN FRANK：複素多項式の零点の実数部と解析関数の連分数拡張への応用について

ここで、フルビッツ多項式に適用されます。それはあなたの問題に適応させることができます。

しましょう $P$根がすべて下半平面にある複素多項式である。にとって$0 \le \lambda \le 1$ 多項式を検討する $$ P_\lambda(z) = P(z) + \lambda \overline{P}(z) $$ どこ $\overline{P}$ から取得されます $P$ すべての係数をそれらの複素共役で置き換えることによって。

それを示したい $P_1$本当のルーツしかありません。そうでない場合は、$P_1$ 上半平面にルートが必要です。

のルーツ $P_\lambda$ の連続関数です $\lambda$、およびのすべてのルーツ $P_0$下半平面にあります。したがって、$\lambda \in (0, 1)$ そのような $P_\lambda$実軸に根があります。しかし、$x \in \Bbb R$ です $|P(x)| = |\overline{P}(x)|$ したがって $|P_\lambda(x)| > 0$、したがって、これは起こり得ません。