にとって $\triangle ABC$、それを示す $ac\cos B+ab\cos C-bc\cos A-a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ-C)}$

Question

三角形 $\triangle ABC$ 側面があります $a$、 $b$、および $c$、および外接円半径 $R$。証明してください$$ac \cos B + ab \cos C - bc \cos A - a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ - C)}$$ 平等はいつ起こりますか？

別のフォーラムでこの質問に出くわしましたが、面白いと思いました。私は少し進歩しましたが、それほどではありませんでした：私は変更しました$R^2$不等式の分数に。おそらく正弦定理または余弦定理の別の使用法があると思いますが、私はそれを見つけることができません。

編集：多くの人が問題が正しいかどうかについて質問があります。これが元の問題です：

三角形 $\triangle ABC$ 側面があります $a$、 $b$、および $c$、および外接円半径 $R$。証明してください$b^2 + c^2 - a^2 \ge -R^2$ 平等はいつ起こりますか？

Answer 1

Id est、余弦定理により、次のことを証明する必要があります。 $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}-a^2\leq\frac{c^2}{8\left(\frac{2S}{ab}\right)^2},$$ どこ $S=\frac{1}{4}\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}$。

したがって、それを証明する必要があります $$b^2+c^2-a^2+\frac{a^2b^2c^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}\geq0.$$ さあ、 $a=y+z$、 $b=x+z$ そして $c=x+y$。

したがって、 $x$、 $y$ そして $z$ はポジティブであり、次のことを証明する必要があります。 $$2(x^2+xy+xz-yz)+\frac{\prod\limits_{cyc}(x+y)^2}{16xyz(x+y+z)}$$ または $$(y^2+34yz+z^2)x^4+2(y^3+35yz+35y^2z^2+z^4)x^3+$$ $$+(y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4)x^2+$$ $$+2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)x+y^2z^2(y+z)^2\geq0.$$ さあ、 $x^4=t\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}.$

したがって、 $$y^2+34yz+z^2\geq36\sqrt[3]{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$2(y^3+35y^2z+35yz^2+z^3)\geq144\sqrt{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4\geq120\sqrt[3]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^2},$$ $$2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)\geq-48\sqrt[6]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^5}$$ そして $$y^2z^2(y+z)^2\geq4\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12},$$ それを証明するのに十分です： $$36t^4+144t^3+120t^2-48t+4\geq0$$ または $$(3t^2+6t-1)^2\geq0$$ これで完了です。

平等は $t=\frac{2}{\sqrt3}-1$ そして、例えば、 $y=z=1$、 $x=\frac{2}{\sqrt3}-1$ 角度が測定された三角形ができました $30^{\circ}$、 $30^{\circ}$ そして $120^{\circ}.$

Answer 2

2番目の質問（平等）への回答。

三角形 $ABC$ 側面があります $a$、 $b$、および $c$、対応する角度 $\alpha,\beta,\gamma$、半周長 $\rho$、内接円半径 $r$ および外接円半径 $R$。証明してください\begin{align} R^2-a^2+b^2+c^2\ge0\tag{1}\label{1}. \end{align} 平等はいつ起こりますか？

\ eqref {1}をで割ることにより $R^2$、 我々は持っています

\begin{align} 1-4\sin^2\alpha+4\sin^2\beta+4\sin^2\gamma&\ge0 \tag{2}\label{2} . \end{align}

\ eqref {2}が次の等式になることを確認するのは簡単です $\alpha=120^\circ,\beta=\gamma=30^\circ$。言い換えると、\ eqref {1}は、次の二等辺三角形の等式になります。$\alpha=120^\circ$。