の（9次元および15次元）凸集合のペアのジョン楕円体は何ですか $4 \times 4$ 正定行列？
9次元および15次元の凸集合のジョン楕円体（JohnEllipsoid）とは何ですか（$A,B$）の $4 \times 4$正定値のトレース1対称（エルミート）行列（量子情報の用語では、それぞれ「2レビット」と「2キュービット」の「密度行列」のセット[ DensityMatrices ]）？（これらの物体は、基礎となる定理JohnTheoremの1つの側面という意味で、「中心対称」ですか？）
さらに、これらの楕円体との重要な凸部分集合との関係（交差点、…）は何ですか。 $A$ そして $B$ 部分転置の（完全に正ではない）演算の下で正定値のままである行列で構成されます。 $2 \times 2$ のブロック $4 \times 4$行列はその場で転置されますか？（[ MasterLovasAndai ]は、これらの「PPT」[正の部分転置/分離可能/絡み合っていない]凸部分集合が占めるユークリッド体積の割合が$\frac{29}{64}$ にとって $A$ そして $\frac{8}{33}$ にとって $B$。）
また、これらの楕円体と「内接球」（に内接する最大の球）とのさらなる関係は何ですか。 $A$ そして $B$[ SBZ ]）？インスフィアもPPTセット内にあります。ジョンの楕円体と球体は単純に一致するのでしょうか？
さらに、これらのPPTセットのジョン楕円体自体は何でしょうか？
次の引用pで言及されている「ステアリング楕円体」の興味深い概念があります。28 [SteeringEllipsoid]：
2量子ビット状態の場合、正規化された条件状態アリスは、ボブのシステムを操作して、ボブのブロッホ球内に楕円体を形成できます。これは、操作楕円体と呼ばれます（Verstraete、2002; Shi et al。、2011、2012; Jevtic et al。、2014 ）。
ただし、「ブロッホ球」は3次元であるため、2キュービット状態のステアリング楕円体は、上記で要求された（15次元）ジョン楕円体にすることはできません。
もちろん、ジョン楕円体とは何かという質問は、の凸集合に対して尋ねることができます。 $m \times m$ 対称および $n \times n$ エルミート（正定値、トレース1）密度行列（$m,n \geq 2$）。にとって$m,n=2$、答えは取るに足らないように見えます。つまり、凸集合自体です。にとって$m,n =3$、それはおそらく重要なようです。ただし、の複合値の場合のみ$m,n$、PPT状態の凸型サブセットに関する補助的な質問がありますか。
上記の最初のハイパーリンクで提供されているウィキペディアの記事では、
「内側のLöwner–John楕円体として最大体積の内接楕円体」について説明しています。
[ DensityMatrices ]：Slater-一般化された2キュービットのヒルベルトシュミット分離確率の簡潔な式
[ JohnTheorem ]：ハワード-ジョン楕円体定理
[ MasterLovasAndai ]：Slater-Master Lovas–Andaiおよび同等の式で$\frac8{33}$ 2量子ビットのヒルベルト-シュミット分離可能確率とコンパニオン有理値予想
[ SBZ ]：Szarek、Bengtsson、およびŻyczkowski-正の部分転置を伴う状態の本体の構造について
[ SteeringEllipsoid ]：Uola、Costa、Nguyen、Gühne-量子ステアリング
回答
2つの明らかに関連する式から始めましょう。1つ目はボリュームの$k$-次元楕円体[Thm。2.1、EllipsoidVolume ]、\ begin {equation} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left（\ frac {k} {2 } \ right）}、\ end {equation}ここで、$a_i$は半軸の長さです。
もう1つはセットのボリューム用です $m \times m$トレース1の対称正定行列[（7.7）、RebitVolume ]。\ begin {equation} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4}（m-1）m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4}（m- 1）m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left（\ frac {m + 1} {2} \ right）\ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left（\ frac {l } {2} + 1 \ right）} {m！\ガンマ\ left（\ frac {1} {2} m（m + 1）\ right）}。\ end {equation}
（「2リビット」）の場合 $m=4$ （（$k=9$）すぐに関心がある場合、式は\ begin {equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ approx0.0016106を生成します。\ end {equation}
したがって、私たちが特に関心を持っているのは、このボリュームのどの部分が、示された9次元の集合の凸集合の内側のLowner-John楕円体によって占められているかということです。 $4 \times 4$（密度）行列。さらに、と比較してその大きさは何ですか$\frac{29}{64}$、2リビット状態の分離可能性（同等にPPT）の確率のためにLovasとAndaiによって確立された分数？また、内接球の体積と比較して（現在の計算はありません）。
したがって、これらの質問に取り組むために、Ginibreアンサンブル法を使用して、ランダムに生成された「2レビット密度行列」（sec、4、RandomDensityMatrices）のペアを生成しました。次に、それらの差の絶対値を2で除算しました。結果の行列の9つの独立したエントリ（3つの対角要素と6つの上部の非対角要素）を半軸として使用しました。
この時点で、1600万近くのそのようなペアを生成しました。のペア$4 \times 4$ 関連する最大楕円体体積を見つけた密度行列、 $6.98613 \cdot 10^{-8}$ （0.0000432642のみ $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$）、これまでのところ\ begin {equation} \ left（\ begin {array} {cccc} 0.424772＆-0.147161＆-0.3345＆-0.177458 \\ -0.147161＆0.164668＆0.146384＆0.0925659 \\ -0.3345＆0.146384＆0.29387＆ 0.157489 \\ -0.177458＆0.0925659＆0.157489＆0.11669 \\ \ end {array} \ right）\ end {equation}および\ begin {equation} \ left（\ begin {array} {cccc} 0.135144＆0.189631＆-0.03164＆ 0.145386 \\ 0.189631＆0.449171＆-0.180868＆0.347037 \\ -0.03164＆-0.180868＆0.126351＆-0.128246 \\ 0.145386＆0.347037＆-0.128246＆0.289334 \\ \ end {array} \ right）。\ end {equation}先頭の3つの対角要素と上位6つの非対角要素のこれら2つの行列の絶対差の半分が、上記の最初の式の9つの半軸として使用されます。
また、次の量を計算するための代替アプローチがありますが、特定の正規化係数までは同等です。 $m \times m$密度行列（AndaiVolume）。アンダイは、しかし、注意を制限しました$2 \times 2$ エルミートの場合であり、上記のZyczkowskiとSommersの体積公式の明示的な代替案を示していませんでした。したがって、現時点では、それがどのような形式になるかはわかりません。