の同型 $S^1$。

Question

定義する $S^1 = \{ z \in \mathbb{C^*} \: : \: |z| = 1 \}$。私の質問は、いくつかのリングが存在するかどうかです$R$ そのような $(R, + )$ 同型です $S^1$？私の直感はノーと言っていますが、どうやってそれを示すのでしょうか。

Answer 1

答えはいいえだ： $S^1$ 分割可能であり、 $x\in S^1$ および任意の $n\in \mathbb Z$、 有る $y$ と $y^n = x$。私たちが書くなら$S^1$ 加えて、これは言います $ny = x$。

特に、 $e$ 上の環構造の乗法単位です $S^1$、 $e$ は分割可能であり、これは特に $n\cdot e$ すべてに対して反転可能です $n$：しましょう $y$ 満足させる $n\cdot y =e$、その後 $e= n\cdot y = (n\cdot e)y$。

特に、 $n\cdot x = 0$、その後 $(n\cdot e) x= 0$、 そのため $x=0$：それは意味します $S^1$ ねじれのないアーバンですが、そうではありません。

Answer 2

これは質問に対する答えではありません。ここで私は次の質問に答えるつもりです。にユニタリーリング構造が存在しますか$(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$ コメントセクションに続いて。

別の操作があるとします $\bullet$ そのような $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$ とリングになります $\bullet$-身元 $e\in\Bbb R/\Bbb Z$ 私たちが持っているような $k\in \Bbb N$ と $ 0=e+...+e(k$-倍の加算$)$、 どこ $ 0$ の加法単位元です $(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$。さて、$x\in\Bbb R/\Bbb Z$ 我々は持っています $$x+...+x=(e\bullet x)+...+(e\bullet x)=(e+...+e)\bullet x=0\bullet x=0,$$ それは私たちにecahを教えてくれます $x\in\Bbb R/\Bbb Z$ せいぜい持っている必要があります $k$-相加的な順序として、矛盾、以来 $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$すべての注文の要素があります。とりわけ追加は表す$k$-倍の加算。

上記は事実の特別な場合です。グループにすべての次数の要素があり、各要素の次数が有限である場合、グループに単一のリング構造はありません。

残っているのは、ユニタリーリングが存在するということです $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$ いくつかの乗算について $*$ そのような $*$-のアイデンティティ $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$無限の加法次数がありますか？言い換えると、$*$-アイデンティティは次の形式です $\alpha+\Bbb Z$ いくつかの不合理のために $\alpha?$

2番目の質問への回答：もし$(\Bbb R/\Bbb Z,+,∗)$ ユニット付きのリングでした $u$、それから $\Bbb R/\Bbb Z$ 分割可能であり、要素が存在します $v$ そのような $v+v=u$、 しかしその後 $\overline{1/2}=u∗\overline{1/2}=(v+v)∗\overline{1/2}=v∗(\overline{1/2}+\overline{1/2})=v*\overline 1=v*\overline 0=\overline 0$、矛盾。