のIff条件 $C^1$-微分同相写像 $L^1$ または $L^\infty$ ヤコビアン

Question

しましょう $\Delta,D$ の2つのオープンサブセットである $\mathbb{R}^d$、そして $\varphi:\Delta \rightarrow D$ である $C^1$-ヤコビ行列式による微分同相写像 $J_{\varphi}.$

1. 証明してください $\lambda_d(D)<+\infty$ 場合に限り $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

2. 証明してください $J_\varphi$ に制限されています $\Delta$ 場合に限り $\exists c>0$ すべてのオープンのために $\Omega \subset\Delta$、 $\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

パート1の場合、結果は次のようになります。 $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

パート2の場合、 $J_\varphi$ 有界であり、 $\exists c>0$ すべてのオープンのために $\Omega \subset \Delta$、$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

どうすればその逆を証明できますか？

Answer 1

連続関数についてはそれを思い出してください $f$ ポイントの近傍で定義されます $x\in\mathbb R^d$、 $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

連続関数を仮定します $|J_\varphi|$無制限でした。次にそれぞれについて$n\in\mathbb Z_{>0}$、 が存在します $x_n\in \Delta$ そのような $|J_\varphi(x_n)|>2n$。したがって、十分に小さい場合$r_n>0$、 $$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$ つまり $$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$ だからそのようなものはありません $c>0$ 存在することができます。