の最大の理想 $C^1[0,1]$

Question

の最大の理想は何ですか $C^1[0,1]$？

私たちは、の最大の理想が $C[0,1]$ の形です $\{f:f(x)=0\}$ のコンパクトさを使用します $[0,1]$ これを証明するために、しかしどのように私たちはの最大の理想を見つけるのですか $C^1[0,1]$？

この質問は、バナッハ代数に関するコースで尋ねられます。

Answer 1

ステートメントは次のとおりです。修正 $x\in [0,1]$ とセット $I_x:=\{f\in C([0,1]):f(x)=0\}.$ 次に $I_x$最大です。逆に、すべての最大の理想はこの形です。証拠のスケッチ：

場合 $I_x\subsetneq J$ その後、 $g\in J\setminus I_x$。次に、$h=g/g(x)\in J$ そして $h-1\in I_x$。その結果$1=h+(1-h)\in J$ そう $J=C([0,1]).$

逆に、 $J$ は最大ですが、宣伝されている形式ではありません。 $a\in [0, 1]$ あります $f_a \in J$ そのような $f(a)\neq 0.$ その結果、neigborhoofがあります $a\in N_a$ そのような $x\in N_a\Rightarrow f_a(x)\neq 0.$ 書く $[0,1]=\bigcup_{i_1}^MN_{a_i}$ いくつかの整数の場合 $M$ そして、置きます $g=\sum_{i=1}^Mf^2_{a_i}.$ 次に、 $g>0$ そう $1/g\in J$ したがって $1=g/g\in J\Rightarrow J=C([0,1]).$