の最大値を見つける $x+y+z$ [閉まっている]

Question

正の数の場合 $x, y$ そして $z$ それを満たす $xyz=1$、の最小値は何ですか $x+y+z$？

から $xyz=1$、 私たちは手に入れる $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

それらをに置き換えます $x+y+z=1$ そして私は得た$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

の最小値を見つけているので $x+y+z$、式を使うことを考えました $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ 私たちがの価値を持っているという事実のために $xy+yz+xz$。

これまでのところ、これですべてです。どうすれば続行できますか？

Answer 1

AM-GM不等式を使用し、

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

最小値は $3$ 上限はありません。

Answer 2

形状別：

方程式の表面 $xyz=1$（名前はわかりません）は、「双曲線のような」形状の立方体です。これは、1つの一定の座標の平面による断面が双曲線であるためです。それは秩序の対称性を持っています$3$ 軸の周り $x=y=z$、そして無限に向かって開いています。

平面によるセクション $x+y+z=c$ から始まる閉じた曲線です $c=3$ 単調かつ無制限に拡大します。

最小値は $c=3$ 上限はありません。