の整数解がないことを証明する $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$
私はこの問題にかなり長い間苦労していて、同僚や教師の何人かに尋ねましたが、まだ解決策を見つけていません。ここに問題があります：
方程式の整数解がないことを証明する $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$
これが私が試したことです：
- 拡張、移動、因数分解（私はそれを有用なものに因数分解することができませんでした）
- 展開、3次方程式への変換（解くのが難しすぎる）
- 二次方程式を使用して、展開し、二次方程式に変換します（十分に単純化できませんでした）
あなたたちが助けることができればそれは素晴らしいことです！
最高、Anay Aggarwal
回答
方程式を次のように書き直します $y/x=x(y^2-1)-2y$、私たちは持っている必要があることがわかります $x\mid y$（右側が整数であるため）。だから$y=xu$ （と $x\not=0$）、 我々が得る
$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$
これは $x\mid u$ そして $u\mid x$、 そう $u=\sigma x$ と $\sigma=\pm1$。しかし、これは
$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$
これは単純化します（キャンセルすると $x$）から
$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$
そしてどちらも $x^4-2x-2=0$ また $x^4+2x=0$ 任意の（ゼロ以外の）整数の根があります。
まああなたは持つことはできません $x=0$ で乗算します $x$ 取得する $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$
その後、あなたはどちらかを持っています $y=\pm 1$ [または $y=0$]（除外できます）または左側が正です。
次に、の用語を比較します $x$ どちらかの側に（注意してください $2x+1$ 負の可能性があります）および $y$ どちらの側にも（同様の注意を払って）。
私たちは与えられます $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ と $x,y\in\Bbb Z$。の存在$1/x$ 用語は意味します $x\neq0$ それゆえ $y\neq0$。乗算する$x$ 与える $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$ご了承ください $2x+1$奇妙です。したがって、$y$ 奇妙なことはできません。 $y^2-1$は偶数になり、方程式は偶数を奇数に等しくします。そう$y$均等です。したがって、$x^2$ であるため、 $x$。その結果$y$ で割り切れる $4$。次に$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$、ながら $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$。したがって、私たちの方程式は満たすことができません。
MSEへようこそ。あなたは解決することができます$y$ 二次方程式を使用する： $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$この答えを救ったJWタナーの功績。にとって$x\ge 1$、 $4x^4+4x^2+4x+1$ は間に $(2x^2+1)^2$ そして $(2x^2+2)^2$、したがって、その平方根は整数ではありません。同様に、$x\le-1$、それは $4x^4$ そして $(2x^2+1)^2$、およびケースを除外できます $x=0$元の方程式で。その場合、整数解はありません。
我々は持っています
$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ で二次として解く $x$
$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$
二次方程式を使用する
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$
因数分解することができます $2$ 取得するため
$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$
平方根を見てください、唯一の有理根は $y = 0$ （RRTによる）しかし、このソリューションをテストすると、 $x = 0$、および最初の式には $\frac{y}{x}$ その中で、そして明らかに $0$ この場合は違法です。
それを見る別の方法 $y = 0$ 唯一の有理根定理は因数分解することです
$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$
次に $y^2+y-1$ 合理的なルーツはありません。
したがって、整数解はありません。
グラフ化しても実際には証拠が得られないとおっしゃっていますが、どこが興味深いかを認識するのに役立つ場合があります。Desmosで方程式をグラフ化すると、次のようになります。
https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0
このグラフは、他に整数解がないことを明らかにしています。 $(0,0)$、私たちが持つことができないので私たちが排除しなければならない $x=0$。しかし、これを証明する方法は？矛盾による証明が最善の策だと思います。
仮定する $x, y \in \mathbb Z $。次に左側$x(y^2-1)$ は常に整数です。
私たちはすでに知っています $x \neq 0$
まず、検討してください $x = \pm 1$。我々は持っています$y^2 - 1 = 3y$ または $1-y^2=y$。どちらでもない$y^2-3y-1$ また $y^2+y-1$ 有理根を持っている（有理根定理により、 $y$ することができます $\pm 1$、そしてどちらの選択も私たちにゼロを与えません）。
次に、検討します $x$その他の整数です。したがって、$2+1/x$整数ではありません。左側も整数でなければならないことがわかっているので、右側も整数であるためには、$y$ の整数倍である必要があります $x$、または $y=kx, k \in \mathbb Z$。その場合、次のようになります。
$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$
有理根定理により、整数根は次のいずれかでなければなりません。 $\{\pm1,\pm k,k^2\}$。それらの根のどれも整数の左側をゼロに等しくしないので$k$、の整数根はありません $|x| > 1$。
の可能な整数解をすべて排除しました $x$。したがって、解決策はありません$x,y \in \mathbb Z$。
少し複雑ですが、お役に立てば幸いです。