の証明を理解する：すべての凸関数は連続です

Question

私は次の証拠を理解しようとしています：

定理2.10。場合$f$ 開区間で定義された凸関数です $(a, b)$ その後 $f$ 継続している $(a, b)$

証明。仮定します$f$ 上に凸です $(a, b),$ そしてしましょう $[c, d] \subseteq(a, b) .$ 選択 $c_{1}$ そして $d_{1}$ そのような $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ 場合 $x, y \in[c, d]$ と $x<y,$ 補題2.9からのものです（図4を参照）$)$ それ $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ そして $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ セットを表示 $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ によって囲まれています $M>0 .$ 続く $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ したがって $f$ に一様に連続している $[c, d] .$ 一様連続性は連続性を意味することを想起し、 $f$ 継続している $[c, d] .$ 間隔以来 $[c, d]$ 恣意的だった、 $f$ 継続している $(a, b)$。 ${}^2$ $\square$

（このスクリーンショットから転記）

私の質問：

1. 式のモジュラス値はどこにありましたか $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ から来る？
2. どうですか $M=0$？些細なことですが、このケースにも対処する必要があると思います。私はその考えは$M=0$、その後 $f$は一定であり、したがって連続的です。しかし、どうすればそれを厳密に示すことができますか？

Answer 1

著者が数字を見つけたので $\alpha$ そして $\beta$ あなたがいつも持っているような $c\leqslant x<y\leqslant d$、$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$そして$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$その後、セット$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$有界であるため、セット$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$有界です。だから、あなたはいくつかを取ることができます$M>0$ そのような$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$そして、あなたが取ったので $M>0$、その可能性を気にする必要はありません $M=0$。

Answer 2

1. この証明では、有界集合の一様連続性に相当するもの、つまりリプシッツ連続性を使用します。これは、この式の由来でもあります。リプシッツ連続性は一様連続性を意味することを証明する必要がありますが、それは基本的なものと見なされるため、しばしば省略されます。
2. 理由がわかりません $M=0$ との不等式を満たす関数として、個別に対処する必要があります $M=0$ ポジティブなものの不等式を満たすだろう $M$。