の証明を理解する $v\in S$ そのような $v\in\text{span}(S\setminus \{v\}) \implies S$ 線形従属です。

Question

だから私は次の定理の逆のためにTituAdreescuによって提示された証明を理解しようとしています：

しましょう $S$ あるベクトル空間のベクトルのセットである $V$。次に$S$ ある場合にのみ線形従属 $v\in S$ そのような $v\in\text{span}(S\setminus\{v\})$

逆の証明は次のとおりです。

あると仮定します $v\in S$ そのような $s\in\texttt{span}(S\setminus \{v\})$。それは私たちが見つけることができることを意味します$v_1, v_2, \dots, v_n \in S\setminus v$ およびスカラー $a_1, \dots, a_n$ そのような $v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ しかしその後 $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ とベクトル $v, v_1, \dots, v_n$線形従属です。以来$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$、それはそれに続く $S$ 線形従属である有限のサブセットを持っているので $S$線形従属です。結果は次のとおりです。

今、私はほとんどの証明を取得しますが、Sはから線形従属であると結論付けるのに十分であると思います $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ それでもTituは行き、 $S\setminus \{v\}$ の線形従属サブセットです $S$ （私はそれがどのように続くのか理解していません $v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$）そしてそれを使用してそれを証明することによって結論を下します $S$ 線形従属サブセットを持つことは、Sが線形従属であることを意味します。

この証拠を理解するのを手伝ってください。ありがとうございました。

Answer 1

しましょう $v\in S$ そのような $v\in \text{span}(S \setminus \{{v}\})$ そう存在します $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ そのような

$$ v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_i \in S \setminus \{v\} $$

私はその事実だと思います $v \notin \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 確かにそれを見るのに役立ちます $\{v,v_1,\ldots,v_n\}$線形従属です。なぜですか？$v_i=v$ 仮定します $v_1$ あなたが持っている

$$ (1-\alpha_1)v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0 $$

そして、あなたはそれを言うことができませんでした $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 線形従属です。

しかし、それは明らかだと思います $\{v,v_1,\ldots,v_n\} \subseteq S$ 彼らはすでにあなたにそれを教えているので線形従属です $v_i \in S \setminus \{v\}$。

次の場合に注意してください $S$ 線形従属のサブセットがあり、 $S$ 線形従属です。