の統合 $2$-立体投影を使用して球上に形成する
しましょう $\omega$ である $2$ 形 $\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$ オン $S^2$。統合したい$\int_{S^2} \omega$ 定義を使用して、立体投影で ${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$ によって与えられた $$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$ 次に $$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$ 計算に進みます ${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$。です$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$ 例えば、 $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ 同様に $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ そして $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$ ここで、外装製品を計算します。 $$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$ したがって、 $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$間違いがなかったら。しかし、どうすればこの表現を進めることができますか？一方で、積分は$4 \pi$。
回答
これまでの結果は実際にはすべて正しいです。先に進むには、すべての式を拡張することに少し熱心でなくても、より多くの因数分解を選択する必要があります。特に、$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$因数分解することができます。分子は実際にはただです$4(u^2+v^2-1)^2$。他の2つの用語のプルバックを合計すると、追加されます$16(u^2+v^2)$分子に。したがって、あなたは$4(u^2+v^2+1)^2$、分母できれいにキャンセルします。
または、の拡張に精通している場合 $(x+y+z)^2$、最終結果の分子が次のようになっていることがすぐにわかります。 $4(u^2+v^2+1)^2$。
積分を続行するには、積分を極座標に変換します。 $uv$-平面、または三角関数を使ってそれを行います。前者の方法ははるかに簡単です。