の統合カーネル $e^{itH_{0}}$

Question

量子力学では、1粒子系の時間発展状態は次の式で与えられます。 $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$、 どこ $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ 無料のハミルトニアンです、 $t\in \mathbb{R}$ そして $\Delta$通常のラプラス演算子です。私はどこかで両方を見た$e^{itH_{0}}$ そして $e^{tH_{0}}$整数のカーネルがあります。つまり、\ begin {eqnarray}（e ^ {-itH_ {0}} \ varphi）（x）= \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0}（x、y、t ）\ varphi_ {0}（y）dy \ tag {1} \ label {1} \ end {eqnarray}および\ begin {eqnarray}（e ^ {-tH_ {0}} \ varphi）（x）= \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0}（x、y、t）\ varphi_ {0}（y）dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray }ここで$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ そして $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$。

質問：（\ ref {1}）と（\ ref {2}）を証明するにはどうすればよいですか？

Answer 1

基本的に私たちは偏微分方程式を持っています $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

でフーリエ変換を行う $\vec{x}$ 引数はODEになります $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ ソリューション付き $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

右側は、次の2つの機能の積です。 $\vec{k}$ したがって、畳み込みのフーリエ変換です。 $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ どこ $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

場合 $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ その後 $\hat{u}$ 変換することができます $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

したがって、 $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$