の解き方 $x^{T}Ax = 0$？

Question

与えられた行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$、どうすれば解決できますか $x^{T}Ax = 0$ ために $x \in \mathbb{R}^n$？

明らかに、ゼロベクトルは常に解であり、 $A$正または負の明確な他の解決策はありません。しかし、私はケースに興味があります。$A$どちらでもありません。いくつかの例をプロットするだけで、2次元の場合の解は通常、1本または2本の線を表すはずですが、分析解は私にはわかりません。

次の形式の二次方程式を解く質問$x'(A-B)x = 0$密接に関連しているように見えますが、解決策があるかどうかだけを尋ね、それがどのように見えるかではなく、複雑なケースを求めています。そして、実は、とにかく答えがよくわかりません。

Answer 1

ヒント：その証拠 $x^T A x = x^T A_+ x$ すべてのために $x$、 どこ $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ の対称部分です $A$。次に、スペクトル定理を適用できます。