ODEのソリューションの存在を証明する $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$
しましょう $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ で2回微分可能である $f'' > 0$、そして $u_- > u_+$実数である。解決策があることを示す$\varphi(x)$ 次の微分方程式に： $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ そのような $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$、 そして、どこ $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$。
私の最初の試みは、このDEが以下にうまく統合できることを観察することです。 $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ したがって、代わりにこのDEのソリューションの存在を示すだけで十分であり、自由に選択できます。 $C$。私はRHSをLHSに引き継ぐことを試みました。$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ どこ $D \in \Bbb{R}$。したがって、次のように定義すると、$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ そしてそれを仮定すると $g$ は可逆であり、 $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ の解決策になります $(2)$。ただし、このアプローチには、取り組む必要のあるいくつかの問題があります。
- 積分は意味がありません $f(\varphi) - s\varphi + C$ のある時点で消える $\Bbb{R}$。私たちは自由に選ぶことができるので$C$、それを示すことができれば $f(\varphi) - s\varphi$ 上または下のいずれかから制限されている場合、そのような選択 $C$存在します。凸面と定義を使用できると思います$s$ これを証明するために、しかし私の試みは今のところ無駄です。
- 積分が理にかなっている場合、別の問題は $g$反転可能です。ただし、これはFTOCのように問題になることはありません。$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ したがって、分母が消えない場合は、 $g'$ は連続であるため、厳密に正または負である必要があります。したがって、 $g$ 厳密に単調であるため、反転可能です。
- ここでの最大の問題は、この定義が次の要件を保証しないことです。 $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$。この条件に合うように積分を操作しようとしましたが、今のところ役に立ちません。
Picardの反復を使用するなど、他のアプローチも試しましたが、この問題は実際にはIVPではないため、成功していません。
どんな助けでも大歓迎です。
回答
で制限を使用する $\pm\infty$、 我々は気づく $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$EvansPDEのこの演習を参照してください。厳格な凸の$\varphi\mapsto \varphi'$ 厳密な凸面から続く $f''>0$ の $f$。このプロパティは$\varphi' < 0$ ために $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$。したがって、$\varphi$ は滑らかな減少関数であり、 $u_-$ に $u_+$。平衡の安定性を調査するには$\varphi = u_\pm$、導関数の符号を計算します $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ 平衡状態で、これはで負です $\varphi = u_+$ とポジティブ $\varphi = u_-$厳密な凸面のため。したがって、$u_+$ 魅力的な均衡であり、 $u_-$反発平衡です。rhs以来。上記の微分方程式のは非特異であり、追加の根を持たないため、有界解は必ず両方の値を接続します$u_\pm$ スムーズな減少機能を介して $\varphi$。の被積分関数$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ 境界で特異です $\varphi = u_\pm$。この広義積分の収束は、境界での漸近的振る舞いから生じます。