ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$
私は次のODEを持っています：
$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$
私はそれを線形形式にしようとして立ち往生しています。私はもう試した$\sin (2y) = \sin y \cos y $ 次に、ODEをで除算します $( \cos y ) ^{-1} $。これで何も起こらなかったので、で割ってみました$( \sin y )^{-2} $代わりに。私も行き詰まりました。代用する必要があると思いますが、どれかわかりません。
ありがとう。
回答
ヒント
$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \ implies \ sec ^ 2 y \ y '= t'$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$
$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ 掛ける $2x'$ と代用 $u=x^2$： $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ 掛ける $e^u$： $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ 統合します。 $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$
DEを次のように書き換えることもできることに注意してください。 $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ そして統合します。