ラマヌジャンのマスター定理の逆も本当ですか？
ラムナジャンのマスター定理は、複素数値関数の場合$f(x)$ フォームの拡張があります
$$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$
その後、メリン変換の$f(x)$ によって与えられます
$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$
ここに $\varphi(s)$ いくつかの関数です（分析的または統合可能など）。
さて、これの逆はどうですか？メリン変換が$f(x)$ に等しい $\Gamma (s)\,\varphi (-s)$、それでは本当ですか $f(x)$ 上記の形式で無限の拡張がありますか？
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回答
マスター定理との部分的な逆については、次の点に注意してください。 $\mathcal M[f(x)]=\Gamma(s)\varphi(-s)$ その後 $$f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s)\,ds.$$ の極 $\Gamma$ は単純で非正の整数であるため、整数の剰余 $-t\le0$ です $$\lim_{s\to-t}(s+t)\Gamma(s)=\lim_{s\to-t}\frac{\Gamma(s+t+1)}{\prod\limits_{i=0}^{t+1}(s+i)}=\frac{(-1)^t}{t!}.$$ したがって、 $\varphi$ 特異点がなく、正でない整数に根がない場合、留数定理は次のようになります。 $$f(x)=\sum_{t\ge0}\operatorname{Res}(x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s),-t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)(-x)^k}{k!}$$ これは元のステートメントです。
BerndtのRamanujanのQuarterlyReports 1では、次のように述べられています。
最初のレポートの最後のセクションでは、ラマヌジャンは、マスター定理とは逆の定理のタイプが成り立つと仮定して、4つの関数の特定の拡張を導き出します。より具体的には、彼は積分の値から被積分関数のべき級数を決定します。実際、ラマヌジャンのマスター定理に対する逆は、メリン変換の反転式に従います。ラマヌジャンは正式に進んだものの、彼が得た結果はすべて確かに正しいものです。
（私の強調）
考慮される4つの機能は次のとおりです。
$\left(2/(1+\sqrt{1+4x})\right)^n=p_*^{-n}$ どこ $p_*$ の正の根です $p^2-p-x$、与える $\varphi(q)=n\Gamma(n+2q)/\Gamma(n+q+1)$;
$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-n}=e^{-n\operatorname{arcsinh}x}$、与える $\varphi(q)=n2^{q-1}\Gamma((n+q)/2)/\Gamma((n-q)/2+1)$;
$\int_0^\infty a^{q-1}x^n\,da$ どこ $a\ge0$、 $n>0$ そして $x$ 解決します $\log x=ax$、与える $\varphi(q)=n(n+q)^{q-1}$;
$\int_0^\infty a^{r-1}x^n\,da$ どこ $x$ 解決します $aqx^p+x^q=1$ と $a>0$、 $0<q<p$ そして $0<pr<n$、与える $\varphi(r)=nq^{r-1}\Gamma((n+pr)/q)/\Gamma((n+pr)/q-r+1)$。
明らかにこれらすべての場合 $\varphi$ 左平面全体で分析的ではありませんが、ガンマ項のキャンセルは $\Gamma(-s)$ アイデンティティがまだ保持されている理由かもしれません。
参照
[1]ブリティッシュ・コロンビア州ベルント（1984）。ラマヌジャンの四半期報告書。ロンドン数学会紀要。16（5）：449-489。