ランダムウォークの確率-テニスの試合

Question

あなたと対戦相手はテニスをしています-最初に $2$続けて勝ちます。あなたが勝つ確率は$0.6$。彼が勝つ確率は$0.4$。ゲームに勝つ確率はどれくらいですか？

これは、5つの状態（2つの損失、1つの損失、0のネット、1つの勝利、2つの勝利）を持つマルコフ連鎖としてモデル化できると思います。したがって、これを解決するためにいくつかの方程式を書くことができると思います。これが理にかなっているのか/間違っているのか誰かに教えてもらえますか？

P（あなたはすぐに勝ちます） $= (0.6)(0.6) = 0.36$

P（彼はすぐに勝ちます）$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

P（あなたが勝つ）$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

回答：

ケース1：2つのゲームに連続して勝つ$ = 0.36$

ケース2：あなたはゲームに勝ち、対戦相手はゲームに負けます$ = 0.24$

ケース3：あなたはゲームに参加し、対戦相手はゲームに勝ちます$ = 0.24$

ケース4：あなたは2つの連続したゲームに負け、対戦相手は勝ちます $ = 0.16$

ケース2と3の両方で、ゲームはドローと見なされ、スクエア1に戻ります。したがって、勝者ではない確率は、ケース2と3の合計です。$= 0.48$

あなたが勝つ確率 $= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

対戦相手が勝つ確率 $=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

これは、マルコフ連鎖の解法を知​​らない限り、ゲームを単純化して解を見つけることができる1つの方法です。