リー代数sl(n、F)の基礎: $\mathfrak{sl}(2,F)$
Aug 23 2020
$\mathfrak{sl}(2,F)$ のリー代数です $\mathfrak{gl}(2,F)$。しましょう$x=\begin{pmatrix} 0 &1\\ 0&0 \end{pmatrix}$、 $h=\begin{pmatrix} 1 &0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ $y=\begin{pmatrix} 0 &0\\ 1&0 \end{pmatrix}$。
わかります $\{x,y,z \}$ の基礎を形成します $\mathfrak{sl}(2,F)$ 構造定数を見つけました。
私は次の緊急の質問があります。これを手伝ってください。
- なぜ人々は特にこれに基づいて働いているのですか?
- 同様の順序付けられた根拠はありますか $\mathfrak{sl}(n,F)$?
- 練習する基本的なリー代数に関するいくつかの良い問題を提案してください。
前もって感謝します。
回答
3 DietrichBurde Aug 23 2020 at 21:21
質問1:この基礎は、半単純リー代数の一般理論に適合します。つまり、$x$ そして $y$ 冪零であり、 $x\in \mathfrak{n}^+$ そして $y\in \mathfrak{n}^-$、 にとって $\mathfrak{n}$ 標準のボレル部分リー環のnilradical、および $h\in \mathfrak{h}$対角です。そう$$\mathfrak{sl}_2(F)=\mathfrak{n}^-\oplus \mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}^+$$
質問2:はい、同様のものがあります$\mathfrak{sl}_n(F)$、ここで対角行列はカルタン部分代数にまたがっています $\mathfrak{h}$。
質問3:確かに、ハンフリーの本の問題を取り上げてください。ソリューションはオンラインでもあります(たとえば、ここを参照)。