リー代数sl(n、F)の基礎: $\mathfrak{sl}(2,F)$

Aug 23 2020

$\mathfrak{sl}(2,F)$ のリー代数です $\mathfrak{gl}(2,F)$。しましょう$x=\begin{pmatrix} 0 &1\\ 0&0 \end{pmatrix}$$h=\begin{pmatrix} 1 &0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ $y=\begin{pmatrix} 0 &0\\ 1&0 \end{pmatrix}$

わかります $\{x,y,z \}$ の基礎を形成します $\mathfrak{sl}(2,F)$ 構造定数を見つけました。

私は次の緊急の質問があります。これを手伝ってください。

  1. なぜ人々は特にこれに基づいて働いているのですか?
  2. 同様の順序付けられた根拠はありますか $\mathfrak{sl}(n,F)$
  3. 練習する基本的なリー代数に関するいくつかの良い問題を提案してください。

前もって感謝します。

回答

3 DietrichBurde Aug 23 2020 at 21:21

質問1:この基礎は、半単純リー代数の一般理論に適合します。つまり、$x$ そして $y$ 冪零であり、 $x\in \mathfrak{n}^+$ そして $y\in \mathfrak{n}^-$、 にとって $\mathfrak{n}$ 標準のボレル部分リー環のnilradical、および $h\in \mathfrak{h}$対角です。そう$$\mathfrak{sl}_2(F)=\mathfrak{n}^-\oplus \mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}^+$$

質問2:はい、同様のものがあります$\mathfrak{sl}_n(F)$、ここで対角行列はカルタン部分代数にまたがっています $\mathfrak{h}$

質問3:確かに、ハンフリーの本の問題を取り上げてください。ソリューションはオンラインでもあります(たとえば、ここを参照)。