リー群のアイデンティティのオープンネイバーフッドがリー群全体を生成する理由の直感

Aug 16 2020

接続されたリー群のアイデンティティのオープンネイバーフッドがリー群全体を生成する理由の直感。

編集:これの標準的な証拠は、開いている近傍によって生成されたサブグループが、の開いたサブグループと閉じたサブグループの両方であることを示していると思います $G$ したがって、 $G$ 以来 $G$つながっている。誰かが私にこの結果が真実でなければならない理由のより概念的な説明を教えてもらえますか?

回答

3 MaximeRamzi Aug 16 2020 at 22:33

私にはもっと直感的に聞こえる別の証明を提示させてください-うまくいけばそれがあなたを助けるでしょう。証明はそれ自体で明確であるはずですが、最後に詳細な直感的な説明を追加します。

接続されたリー群はパス接続されています。

しましょう $U$あなたの近所になります。取るまで$U\cap U^{-1}$、私たちは $U$ 対称です。

しましょう $\gamma : [0,1]\to G$ からのパスになります $e$ 任意の要素に $x$; そしてすべてのために$t\in[0,1]$$U_t$ の十分に小さいオープン間隔である $[0,1]$ 含む $t$ そのような $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$。もちろん、これは可能です。$\gamma(t)U$ の近所です $\gamma(t)$

次に $\bigcup_t U_t = [0,1]$ コンパクトさで、 $0<t_1<...<t_n<1$ そのような $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$

しかし、その後( $t_0=0,t_{n+1}=1$)、それぞれについて $i$$U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ いくつかの要素が含まれている必要があります $s_i$ (それの訳は $[0,1]$ 接続されており、間隔を選択しました)。

次に $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$

$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$、および同様に、 $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$

そう $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$。もちろん、私たちはそれから導入するかもしれません$n$ そしてそれを取得します $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$、しかしそれは明らかです: $x\in \langle U\rangle$

さて、この証明の背後にある直感は、$e$$x$、の十分に小さい値ごとに $\epsilon$$\gamma(t)$ そして $\gamma(t+\epsilon)$ 何かが違うだけです $U$ (または $U^{-1}$)。

しかし、のコンパクトさによって $[0,1]$、の必要な値 $\epsilon$ どういうわけか以下に制限されています(したがって、パーティションを取得します $t_1<...<t_n$)、これにより、滞在中に十分な大きさのジャンプを行うことができます $U$、したがって、最終的には、によって生成されたサブグループにとどまります $U$ ジャンプを記録するだけなら。

これはどのように関連しています $G$ は「均一な」空間です。2つの要素間のギャップは、間のギャップとして見ることができます。 $e$およびその他の要素。これにより、多くの質問を地元の質問に減らすことができます$e$