リーマン積分とコーシー積分

Question

本から取った次の演習を行ってください。

http://93.174.95.29/main/DD7D07B152D8622B441B7E63F9D4461E

https://libgen.lc/ads.php?md5=091431F03323DE6C347E43D0475FC387

（14ページを参照）。

で定義された関数を検討してください $[-1,0]$ 沿って $f(x) = 1/\sqrt(-x)$ オン $[-1,0)$ そして、 $f(0) =0$。この関数はに制限されていないので$[-1,0]$、リーマン積分は存在しません。それにもかかわらず、この区間でのこの関数のコーシー積分が存在することを示します。

リーマンの部分については、それは大丈夫です。コーシーの部分については、どのシーケンスでもそれを示したいと思います$(x_k)_{1\le k\le n}$ そのような $-1=x_0<x_1<\dots<x_n=0$、 我々は持っています $$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\infty$$ いつ $k\to \infty$。

私はごまかしてそれを書きます $$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\int_{-1}^0\frac{1}{\sqrt{x}}=2$$ そして私は結論を下します。

それを行う正しい方法は何でしょうか？

Answer 1

リーマン積分とコーシー積分は両方とも上に存在します $[-1,-c]$ どこ $c > 0$、以来 $f$ その間隔で制限され、連続します。

どんな場合でも $\epsilon > 0$ が存在します $\delta > 0$ パーティションのように $P: -1 = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} = -c$ と $\|P\| < \delta $、 我々は持っています

$$2(1- \sqrt{c})- \epsilon = \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}- \epsilon \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}\leqslant \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}+ \epsilon = 2(1- \sqrt{c})+ \epsilon$$

と $x_n = 0$ 我々は持っています

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \frac{0- (-c)}{\sqrt{c}}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \sqrt{c}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}$$

したがって、

$$-\epsilon/2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2 - \sqrt{c}) \leqslant \epsilon/2,$$

そして、フルパーティションのノルムが $P': -1 = x_0 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = 0$ 十分に小さいので両方あります $\|P\| < \delta$ そして $\sqrt{c} < \epsilon /2 $

$$\left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -2 \right| \leqslant \left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2-\sqrt{c}) \right| + \sqrt{c}\leqslant \sqrt{c} + \epsilon/2 < \epsilon$$