力学系の体積の意味は何ですか
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_system状態空間または位相空間の体積は不変であると説明しています。「11の奇妙なアトラクターとリアプノフ薄暗い」というタイトルの講義ノート。ストロガッツの本から取られたものは、eq（2）でボリュームの座標変換を示しています。注に示されている証明が、座標変換などのある種の変換の下で、奇妙なアトラクターを持つシステムのボリュームが不変であることを意味するかどうかを理解したいと思います。座標変換により、位相空間の再構成を生成し、それを使用して奇妙なアトラクターを取得できます。カオス力学系のパラメータ設定を適切に選択すると、奇妙なことがわかります。しかし、私はその証拠を理解することができません。
質問：奇妙なアトラクタを持つシステムのボリュームが変換に対して不変であることを証明する方法と、これが何を意味するかを誰かに教えてもらえますか？
奇妙なアトラクタのボリュームは縮小または拡大しますか？
更新：8月18日
コメントの下での議論に基づいて、これは私が理解できるものから私が書くことができるものです。エレガントな方法でプルーフライティングを仕上げる手助けに感謝します。
証明：カオスダイナミクスのシステムによって示される奇妙なアトラクターの量は、何らかの変換の下で不変であり、尺度またはメトリックです。
私の考えは、 $n_a$ アトラクタの次元になり、 $d$ 埋め込み寸法であり、アトラクタにはボリュームがあります $v$ アトラクタ寸法付き $n_a$。スカラー値の時系列が利用可能な場合、アトラクタを再構築できます。$d$ ターケンスの遅延埋め込み法による次元位相空間、 $d \ge 2n+1$ どこ $n$観測されたシステムの次元です。私たちはの実際の価値についての知識を持っていません$n_a$。以来、散逸システムのボリューム$v \le 0$、その場合に限り $n \le n_a$、およびその次元がより小さいため、ゼロに等しい $n_a$。したがって、散逸システムは、ゼロであるアトラクタのボリュームを保持します。座標の変更に関しては、アトラクタはメジャーゼロセットであるため、滑らかなマップの下のアトラクタのイメージもメジャーゼロになります。
アトラクタがゼロに設定されたメジャーであり、ルベーグ測度のようなメトリックであることをどのように証明できますか？誰かがこの証明を正式に書くのを手伝ってもらえますか？ありがとうございました。
回答
彼らがボリュームと言うとき、彼らは本当に「測定」を意味します。空間の対策$X$ 関数です $\mu$ 長さ（または面積、体積、または確率-特定のスペース）を割り当てます $X$ または、コンテキストは通常、測定値が何であるかをどのように考えるかを決定します） $X,$ ここで、「素敵な」とは、誰かが事前にのサブセットを選択したことを意味します $X$私たちが測定できること。これらは測定可能セットと呼ばれます。
地図 $T : X\rightarrow X$ であると言われています $\mu$-（a）いつでも不変 $S$ 測定可能であるため、 $T^{-1}(S)$、および（b） $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ いつでも $S$ 測定可能です。
確認方法は、内容により大きく異なります。信じられないほど一般的で役立つトリックの1つは、「生成する」集合族で（a）と（b）をチェックする場合、測定可能なすべてのサブセットについて条件（a）または（b）が成り立つことをチェックする必要がないことです。測定可能なセットのコレクションであれば、どこにでもあると結論付けることができます。たとえば、あなたのスペースが$X = [0, 1]$ のサブセットを割り当てる通常の「ルベーグ測度」で $X$ それは長さです、それをチェックするのに十分でしょう $T$ 間隔の測定値を保持します。
いくつかのこと：
- 式2の注に注意してください。
散逸システムにはアトラクタがありますが、体積保存システムにはアトラクタもリペラもありません。
これは、「ボリューム」がルベーグ測度を意味するという意味で当てはまります。つまり、ボリュームの通常の定義です。 $\mathbb{R}^n$。アトラクタは必然的に位相空間自体よりも低次元であるため、その体積（ルベーグの意味で）は0でなければなりません。例：の表面の体積$\mathbb{R}^3$表面が2次元であるため、は0です。アトラクタは必然的にルベーグの体積がゼロになるため、この体積の保存は簡単です。
だから、これはあなたの質問に一見答えているようです。ただし、奇妙なアトラクタのダイナミクスは通常、エルゴード性です。これは、最初のWikipediaの記事で読んでいるセクションです。エルゴードダイナミクスには通常、不変測度と呼ばれるものがあります。これは、ダイナミクス（不変）によって保持されるボリューム（測度）の概念があることを意味します。したがって、アトラクタをパラメータ化できる場合、つまり、からの座標の変化を見つけることができる場合$\mathbb{R}^n$ アトラクタに対しては、アトラクタの不変測度とダイナミクスの意味での「ボリューム」が実際に保持されます。