リングの素数スペクトル：ジオメトリがローカルリングによってキャプチャされるのはなぜですか？
関数の場合 $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 継続的です、 $f$消失しないすべての点で局所的に反転可能です。つまり、すべての点で$x_0$ そのような $f(x_0) \neq 0$、オープンな近所が存在します $U$ の $x_0$ と機能 $g: U \rightarrow \mathbb R$、そのようなすべてのために $u \in U$、 $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$。
逆は本当ですか？消失しないすべての点で局所的に反転可能な関数は連続ですか？
そうではないようです。関数を検討してください$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
これには逆関数があります $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
たとえ $f$どこでも不連続です。明らかに、この局所的に可逆な定義は、連続関数を与えることからはほど遠いものです。
私は今、環のスペクトルについてやる気がありません。（私が思った）この「局所反転」特性が、環のスペクトル上の構造束の定義を動機付けています。に$\operatorname{Spec}(A)$、点の周りの関数のリング（プライム） $\mathfrak p$ です $A_\mathfrak p$。したがって、でゼロではないすべての関数（リング要素）$\mathfrak p$ ローカリゼーションによって反転可能になることを余儀なくされます。
しかし、この定義は、私たちが望むものを実際に捉えるのに十分なほど強力ではないようです---それは、元の空間の構造を回復できない多くの病理学的な機能の輪を可能にします。関数のリングが与えられたときに元の空間を回復する私が知っている証明は、Urhysonの補題を適用するために連続関数を必要とします[これはAtiyah Macdonald、第1章、演習26にあります）
何が足りないのですか？
回答
どこにも消えない（実数または複素数値の）連続、または連続微分可能、または滑らか、または分析などの関数が、同じカテゴリに逆数を持っているのは事実です。さらに、連続性により、関数は閉集合でのみ消滅します。したがって、位相空間上のそのような機能の束は、その茎が局所環であるという特性を持っています。有理関数を持つ古典的な方法で定義された既約代数多様体の場合、通常の関数の束は同じ特性を持ちます。必ずしも既約代数多様体については、有理関数について実際に話すことはできませんが、既約アフィン代数多様体の通常の関数の束を詳しく分析すると、そもそも有理関数を経由する必要がないことがわかります。一般的なアフィンスキームの構造束の定義に到達します。茎が局所環であるという事実は、ある意味で偶発的です。
しましょう $k$ 代数的閉体であり、 $X$ のサブセットである $k^n$。この回答の目的のために、定期的な機能に$X$ 関数です $f : X \to k$ 多項式が存在する $p$ そして $q$ 以上 $k$ そのような $q (x) \ne 0$ すべてのために $x \in X$ そして $f (x) = p (x) / q (x)$ すべてのために $x \in X$。しましょう$\mathscr{O} (X)$ 上の通常の関数のセットである $X$。次に：
場合 $X$ の既約閉集合です $k^n$、次に割り当て $U \mapsto \mathscr{O} (U)$、 どこ $U$ のオープンサブセットによって異なります $X$、サブシーフを定義します $\mathscr{O}_X$ の束の $k$-の価値のある関数 $X$。
実際、ここでチェックすべき主張があります。つまり、機能の規則性はローカルプロパティであるということですが、それはあなたに任せます。上記の定義が必要です$X$ 埋め込まれる $k^n$、しかしこれは実際には不要です。まず：
場合 $X$ の閉集合です $k^n$ そして $f : X \to k$ は通常の関数であり、多項式があります $p$ 以上 $k$ そのような $f (x) = p (x)$ すべてのために $x \in X$。
より一般的に：
しましょう $X$ の閉集合である $k^n$、 $q$ 上の多項式になる $k$、そして $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$。場合$f : U \to k$ は通常の関数であり、正の整数が存在します $m$ と多項式 $p$ 以上 $k$ そのような $f (x) = p (x) / q (x)^m$ すべてのために $x \in X$。
また、 $U$ で密集しています $X$、次に固有の準同型 $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ 送信 $x_1, \ldots, x_n$ それぞれの座標関数に $U \to k$ そして $u$ 上の通常の機能に $U$ によって定義されます $1 / q$ カーネルがあります $(I (X) + (q u - 1))$、 どこ $I (X)$ で消える多項式の理想です $X$。
確かに、以来 $f : U \to k$ は通常の関数であり、多項式が存在します $p_1$ そして $q_1$ そのような $q_1 (x) \ne 0$ すべてのために $x \in U$ そして $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ すべてのために $x \in U$。Nullstellensatzによって、$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; 特に、正の整数が存在します$m$ そして $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ そして $s \in I (X)$ そのような $q_1 r + s = q^m$。したがって、$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ すべてのために $x \in U$、だから私たちは取るかもしれません $p = p_1 r$。
の一般的な要素が与えられた $k [x_1, \ldots, x_n, u]$、 いう $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$、 どこ $p_0, \ldots, p_m$ の多項式は $x_1, \ldots, x_n$ 以上 $k$、 我々は持っています $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ すべてのために $x \in U$ 場合に限り $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ すべてのために $x \in U$。以来$U$ で密集しています $X$、2番目の方程式は実際にはすべてに当てはまります $x \in X$、 そう $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ それゆえ、 $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$要求に応じ。■■
このすべての結果は、 $X$ の既約閉集合です $k^n$、次に束 $\mathscr{O}_X$ リングから再構築することができます $\mathscr{O} (X)$ の極大イデアル間の全単射と一緒に $\mathscr{O} (X)$ とのポイント $X$：上記は、プリンシパルのオープンサブセットについて $U \subseteq X$、すなわち $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ いくつかのための $f \in \mathscr{O} (X)$、 リング $\mathscr{O} (U)$ のローカリゼーションです $\mathscr{O} (X)$ 積閉集合に関して $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$。制限マップが明白なものであることを確認するのは簡単です。の主要な開集合以来$X$ のトポロジーの基礎を形成します $X$、これは束を決定します $\mathscr{O}_X$。非最大素イデアルの導入をモジュロします。これはまさに、一般的なアフィンスキームの構造束を構築する方法です。