理想的 $\mathbb{N}$ 特定のプロパティを持つ
しましょう $\mathcal{I}$ に理想的である $\mathbb{N}$これには、すべての有限集合と少なくとも1つの無限集合が含まれます。フィルタを定義する
$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$。
$\mathcal{F}$ 補有限フィルターが含まれています。 $\mathcal{I}$ 素数です $\mathcal{F}$他には何も含まれていません。逆は成り立ちますか？言い換えると、対応するフィルターが補有限フィルターである場合、理想はプロパティPを持っているとしましょう。Pはプライムと同じですか？または、Pの簡単な特性評価はありますか？
誰かがこれは求めることと同じだと提案した $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ これは無制限です $\subseteq^{*}$そして、適切な非素イデアルを生成します。この半順序集合については何も知らないことがわかりました。その共終タイプは何ですか？次のような他の半順序集合との関係は何ですか$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$？
背景：トポロジを定義するかどうかを考えていました $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ 特定のシーケンスが収束することを要求することによって $\infty$、に収束するより多くの（そしてどの）シーケンスがありますか $\infty$思ったより。こちらもご覧くださいhttps://math.stackexchange.com/questions/3795712/ideals-and-spaces-defined-by-converging-sequences 質問。
回答
与えられた $P_1,P_2$ 上の非主要な素イデアル $\mathbb{N}$ と $P_1\neq P_2$、 $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$。次に$\mathcal{I}$ はすべての有限集合を含む理想ですが、素数ではありません（いくつかある必要があるため） $A\subseteq \mathbb{N}$ と $A\notin P_1, A^c\notin P_2$）。
しかしながら $\mathcal{I}$ プロパティPを満たします。 $D$ 有限ではない、分割するかもしれない $D^c$ に $4$ 無限のピース： $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$。次に$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ いくつかのための $i$ そして $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ いくつかのための $j$。したがって、$D_{ij}\in \mathcal{I}$ そして $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ 無限です。
しましょう $X$ のサブセットの最大のほぼばらばらのファミリーである $\mathbb{N}$、そして $\mathcal{I}$ によって生成された理想である $X$。次に$\mathcal{F}$ 補有限フィルターになります：if $D\in\mathcal{F}$ その後 $D^c$ のすべての要素からほとんどばらばらです $X$、したがって、の最大値によって有限でなければなりません $X$。しかしながら、$\mathcal{I}$素数ではありません。たとえば、2つの互いに素な可算無限サブファミリーを取る場合$Y,Z\subset X$、次に単純な対角化引数によって構築できます $A\subset\mathbb{N}$ ほぼすべての要素が含まれています $Y$ のすべての要素からほとんど切り離されています $Z$。次に$A\not\in\mathcal{I}$ のすべての要素以来 $\mathcal{I}$ の非常に多くの要素との無限の交差があります $X$、および $A^c\not\in\mathcal{I}$ 同じ理由で。