理想的な多項式
しましょう $R$ 可換環であり、 $A := R[x,y]$、 $A_x$ ファイルのローカリゼーション $A$ 沿って $\{ x^n \mid n \geq0\}$ そして $A_y$ 同じ $y$。
しましょう $I_x \subset A_x$、 $I_y \subset A_y$ 理想st $I_x = I_y$ に $A_{xy}$、 そう $I_x$ そして $I_y$ ローカリゼーションで等しくなる $xy$。
ユニークな理想はありますか $I$ の $A$ st $I = I_x$ に $A_x$ そして $I = I_y$ に $A_y$ ？
独自性はありません。モハンのコメントを参照してください。だから問題は存在です。
回答
はい。この問題の一般化に対する解決策については、ここを参照してください。この特定のケースでは、$\iota_x:A\rightarrow A_x$ そして $\iota_y:A\rightarrow A_y$、および同様に $\tau_x:A_x\rightarrow A_{xy}$ そして $\tau_y:A_y\rightarrow A_{xy}$、正規のローカリゼーションマップになります。あなたが表現する平等条件はそれからそれです$\tau_x(I_x)A_{xy}=\tau_y(I_y)A_{xy}$。また、$$\ker{\tau_x}=\{f\in A_x:\exists k\in\mathbb{N}\text{ such that }(y^k\big/1)f=0\big/1\in A_x\},$$ そしてそれも同様に $$\ker{\tau_y}=\{f\in A_y:\exists k\in\mathbb{N}\text{ such that }(x^k\big/1)f=0\big/1\in A_y\}$$
さあ、 $I=\iota_x^{-1}(I_x)\cap\iota_y^{-1}(I_y)$。私たちは、$I$ に $A_x$ 生成します $I_x$。したがって、$J=\iota_x(I)A_x$ の理想である $A_x$ の画像によって生成されます $I$。なぜなら$I\subseteq\iota_x^{-1}(I_x)$、 我々は持っています $\iota_x(I)\subseteq I_x$ そして確かに $J\subseteq I_x$。他の方向を示すために、$a\big/x^m\in I_x$ 一部の人にとっては恣意的である $a\in A$。今、表示する$a\big/x^m\in J$、表示するだけで十分です $a\big/1\in J$、だから私たちは見つける必要があります $b\in I$ そして $n\in\mathbb{N}$ そのような $a\big/1=b\big/x^n\in A_x$。
これを行うには、次のことに注意してください–なぜなら $a\big/1\in I_x$ - 我々は持っています $a\big/1\in\tau_x(I_x)A_{xy}=\tau_y(I_y)A_{xy}$、だからあります $f\in I_y$ そして $l\in\mathbb{N}$ そのような $a\big/1=f\big/x^l\in A_{xy}$。この意味は$f-x^la\big/1\in\ker{\tau_y}$、そしていくつかあります $k\in\mathbb{N}$ そのような $(x^k\big/1)(f-x^la\big/1)=0\big/1\in A_y$。しかし、これは$x^{k+l}a\big/1=(x^k\big/1)f\in I_y$、以来 $f\in I_y$、 など $x^{k+l}a\in\iota_y^{-1}(I_y)$。また、$a\big/1\in I_x$、 我々は持っています $a\in\iota_x^{-1}(I_x)$、そして確かに $x^{k+l}a\in\iota_x^{-1}(I_x)$。これらの2つの事実をまとめると$x^{k+l}a\in I$、そしてそうさせます $b=x^{k+l}a$ そして $n=k+l$ 与える $a\big/1=b\big/x^n\in J=\iota_x(I)A_x$ 望んだ通りに。
したがって、 $\iota_x(I)A_x=I_x$、そして私たちが示すことができるまったく同じ議論によって $\iota_y(I)A_y=I_y$、だから私たちは存在を証明しました。しかし、モハンが指摘するように、$I$ の画像のために、確かにユニークではありません $I\cdot(x,y)<I$ に $A_x$ そして $A_y$ の画像と同じ理想を明確に生成します $I$。問題は本質的に理想的なことです$(x, y)$ によって生成されます $x$ そして $y$ すべてではありません $A$; 上記にリンクした答えは、一般的な場合の関連する条件がどのように一意性の証明を可能にするかを示しています。