立体射影に関する球の交点の公式
だから私は課題についてこの質問があり、完全に失われています。
しましょう $S^n$ を中心とする単位球になります $0$ 宇宙で $R^{n+1}$。しましょう$N=(0,...,0,1)$そんな空間で。立体投影を定義する$p:S^n\setminus\{N\} \rightarrow R^n = R^n \times \{0\} \subset R^{n+1}$。
球内の各xについて、点 $p(x)$ 線と点の交点です $x,$ 超平面で $x_{n+1} =0.$
そのような明示的な式を見つける必要があります $p(x)$ そしてまたその逆、そして証明する $p$同相写像です。どこから始めればいいのか、本当にわかりません。
ウィキペディアといくつかのビデオから、私はいくつかの方程式を見つけました $R^3$ しかし $n+1$私は完全に失われました。両方でそのような方程式をどのように導き出すのですか？$R^3$ 特に $R^{n+1}$？
回答
この線 $\mathcal L_x$ 使って $N$ そして $x \in S^n \setminus \{N\}$ によってパラメータ化することができます $$l_x(t) = N + t(x -N) .$$ の座標関数 $l_x$ です $$l^i_x(t) = \begin{cases} tx_i & i = 1,\ldots,n \\ 1 + t(x_{n+1} -1) & i = n+1 \end{cases}$$ $\mathcal L_x$ 交差する $\mathbb R^n \times \{0\}$ ポイントで $p(x)$。したがって、私たちは決定する必要があります$t_0$ そのような $l^{n+1}_x(t_0) = 1 + t_0(x_{n+1}-1) = 0$。我々が得る$$t_0 = \dfrac{1}{1-x_{n+1}}$$ したがって $$p(x) = l_x(t_0) = \left(\dfrac{x_1}{1-x_{n+1}},\ldots,\dfrac{x_n}{1-x_{n+1}},0\right) .$$
の逆 $p$次のように決定することができます。与えられた$u = (u_1,\ldots,u_n,0) \in \mathbb R^n \times \{0\}$、見つけたい $x \in S^n$ そのような $p(x) = u$、すなわち $$(\dfrac{x_1}{1-x_{n+1}},\ldots,\dfrac{x_n}{1-x_{n+1}}) = (u_1,\ldots,u_n).$$ これは、 $$\lVert u \rVert^2 = \sum_{i=1}^n u_i^2 = \dfrac{1}{(1-x_{n+1})^2}\sum_{i=1}^n x_i^2 .$$ 必要です $x \in S^n$、すなわち $\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1$。したがって、$$\lVert u \rVert^2 = \dfrac{1}{(1-x_{n+1})^2}(1-x_{n+1}^2) = \dfrac{1+x_{n+1}}{1-x_{n+1}}$$ これは $$x_{n+1} = \dfrac{\lVert u \rVert^2 -1}{\lVert u \rVert^2 +1} $$ そして $$x_i = \dfrac{2u_i}{\lVert u \rVert^2 +1}, i =1, \ldots, n. $$ したがって、 $$p^{-1}(u) = \left(\dfrac{2u_1}{\lVert u \rVert^2 +1}, \ldots, \dfrac{2u_n}{\lVert u \rVert^2 +1},\dfrac{\lVert u \rVert^2 -1}{\lVert u \rVert^2 +1}\right) .$$このアプローチは純粋に正式なものでした。あるいは、幾何学的に行うこともできます。この線$\mathcal L_x$ 使って $N$ そして $x$ を通る線でもあります $N$ そして $u = p(x)$ これは、によってパラメータ化できます $$g_x(t) = N + t(u -N) .$$ の座標関数 $g_x$ です $$g^i_x(t) = \begin{cases} tu_i & i = 1,\ldots,n \\ 1 + t(u_{n+1} -1) = 1 -t & i = n+1 \end{cases}$$ は明らかです $\mathcal L_x$ 交差する $S^n$ 2つのポイントで $N$ そして $x$。したがって、私たちは決定する必要があります$t$ そのような $$1 = \lVert g_x(t) \rVert^2 = \sum_{i=1}^n t^2u_i^2 + (1-t)^2 =t^2\lVert u \rVert^2 + (1-t)^2. $$ これは次のように簡略化できます $$0 = ((\lVert u \rVert^2 +1)t -2 )t .$$ ソリューションは $t_0=0$ （これは $g_x(0) = N$）および $$t_1 = \dfrac{2}{\lVert u \rVert^2 + 1} .$$ 私達は手に入れました $$x = g_x(t_1) = \left(\dfrac{2u_1}{\lVert u \rVert^2 +1}, \ldots, \dfrac{2u_n}{\lVert u \rVert^2 +1},\dfrac{\lVert u \rVert^2 -1}{\lVert u \rVert^2 +1}\right) .$$
ポイントの力
ポイントの力$p$ を中心とする単位円に関して $O$ です $$ (p-x)\cdot(p-N)=|p|^2-1\tag1 $$ピタゴラスの定理は言います$$ |p-N|^2=|p|^2+1\tag2 $$ したがって、 $$ \begin{align} (x-N)\cdot(p-N) &=\left((p-N)-(p-x)\right)\cdot(p-N)\\ &=|p-N|^2-(p-x)\cdot(p-N)\\ &=2\vphantom{N^2}\tag3 \end{align} $$ 以来 $x-N\parallel p-N$ 我々が得る $$ p-N=\frac2{|x-N|^2}(x-N)\tag4 $$ そして $$ x-N=\frac2{|p-N|^2}(p-N)\tag5 $$ 方程式 $(4)$ そして $(5)$ 計算する式を与える $p$ 与えられた $x$ およびその逆。