ロピタルの定理を次の制限に適用する

Question

次の制限でロピタルの定理を利用するのに問題があります。

$$\lim\limits_{w \to 2} \frac{\sin(wt) - (w/2)(\sin(2t))}{(4-w^2)}$$ どこ $t$ は一定です。

ロピタルの定理を式に一度適用して、次のように変換します。

$$\lim\limits_{w \to 2}\frac{(t(\cos(wt)) - (\sin(2t)/2))}{(4-2w)}$$

しかし、この時点から、ロピタルの定理をどのように利用し続けるかについて私は混乱しています。分子が次のように単純化することは私には明らかではありません$0$ または無限大なので、差別化を続けることができるかどうかはわかりません。

私は与えられた限界が等しいと結論することになっています $(-t/4)(\cos(2t)) + (1/8)(\sin(2t))$。

あなたが提供できるどんな助けにも感謝します。

Answer 1

バージョンの場合

$$ \lim_{w\to 2} \frac{(\sin(wt) - (w/2))\sin(2t)}{(4-w^2)}$$

一般に、不定形ではありません。

$$(\sin(wt) - (w/2))\sin(2t) \to (\sin(2t) - 1)\sin(2t)=0$$

あれは

$$2t=k\pi \quad \lor\quad 2t=(2k+1)\frac \pi 2$$

その後、 $2t=k\pi$

$$ \frac{(\sin(wt) - (w/2))\cdot 0}{4-w^2}=0$$

にとって $2t=(2k+1)\frac \pi 2$

$$ \lim_{w\to 2}\frac{\sin(wt) - (w/2)}{4-w^2}=\lim_{w\to 2}\frac{t\cos(wt) - \frac12}{-2w} \to \frac{t\cos(2t) - \frac12}{-4}=\frac18$$

そうでなければ、制限は存在せず、左右の制限はの符号に応じて発散します $(\sin(2t) - 1)\sin(2t)$。

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2番目のバージョンではそれがあります

$$ \lim_{w\to 2} \frac{\sin(wt) - \frac w 2sin(2t)}{4-w^2}=\lim_{w\to 2} \frac{t\cos(wt) - \frac12sin(2t)}{-2w}=\frac{t\cos(2t) - \frac12\sin(2t)}{-4}$$