サブバージェント（発明された定義）シリーズに関する基本的な事実を証明または反証する
私はUnderstanding Analysisスティーブン・アボットによる実解析を自己学習しています。サブバージェント（発明された定義）シリーズに関する以下の主張について、正しい結論を導き出したかどうかを尋ねたいと思います。
$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$
定義。シリーズのことをしましょうと言うsubverges部分和の列が収束する部分列が含まれている場合。
この（発明された）定義を少し考えてから、次のステートメントのどれがサブバージェントシリーズについての有効な命題であるかを決定します。
（a） $(a_n)$ 有界であり、その後 $\sum a_n$ 潜水します。
（b）すべての収束級数はサブバージェントです。
（c） $\sum \absval{a_n}$ 沈み、そして $\sum a_n$ 同様に水没します。
（d）もし $\sum a_n$ 沈み、そして $(a_n)$ 収束部分列があります。
証明。（a）この命題は誤りです。反例として、シーケンスを考えてみましょう$(a_n):=1$。部分和のシーケンスは次のとおりです。$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$。のサブシーケンスはありません$(s_n)$収束します。そう、$\sum {a_n}$ 沈下していません。
（b）級数が収束しているため、部分和のシーケンスが収束し、したがって、部分和のサブシーケンスも同じ限界に収束します。したがって、すべての収束級数はサブバージェントです。
（c）この命題は正しいと思います。しましょう$(s_n)$ 絶対値の部分和のシーケンスであり、 $(t_n)$ 級数の部分和のシーケンスである $\sum a_n$。
サブバージェンスの定義により、いくつかのサブシーケンスがあります $(s_{f(n)})$ の $(s_n)$それは収束します。一般性を失うことなく、仮定する$(s_{2n})$そのような収束部分列の1つです。次に、が存在します$N \in \mathbf{N}$ そのような、 \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}
すべてのために $n > m \ge N$。
この事実を使用して、サブシーケンスに適切な不等式を書くことができます $(t_{2n})$。 \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}
すべてのために $n \ge N$。
上記はすべてのサブシーケンスに当てはまります $(s_{f(n)})$ どこ $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ 全単射です、 $\sum a_n$ 潜伏している。
（d）これに対する反例は考えられません。
回答
- a）あなたの証明は大丈夫です
- b）についても、わかりました
- c）の場合、私は次のように書いたでしょう：
しましょう $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ そして $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ すべてのために $n$。
その後、すべてのために $n$、 $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ そして $a_n = a_n^+ - a_n^-$。
以来 $\sum |a_n|$ 沈下している、そして $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ そして $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$、私たちはそれを持っています $\sum a_n^+$ そして $\sum a_n^-$ 沈下しているので、合計 $\sum a_n$ 潜伏している。
（もしも $\sum u_n$ に収束します $(u_n)$ ポジティブ、そしてすべてのために $(v_n)$ そのようなポジティブ $\forall n,v_n\leqslant u_n$ サブバージは証明に値しますが、それほど難しくはありません）
- d）私は定義します $(a_n)$ そのような $n\geqslant 0$、
$a_{2n} = -n$ そして $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$。
次に $\sum a_n$ 以来収束します（ $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$） $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ 収束するとき $n\rightarrow +\infty$。
しかし、収束するサブシーケンスがないことは明らかです。