彩色多項式の変換を含む極限について
私は彩色多項式（ここでは $\chi_G(x)$）そして私は次の推測をしました。
しましょう $(G_n)_{n \ge 1}$ グラフのシーケンスである $v(G_n) \to \infty$ （（$v(G_n)$ の頂点の数を示します $G_n$）および $e(G_n) \to \infty$ （（$e(G_n)$ のエッジの数を示します $G_n$）。
それぞれについて $x \neq 0$、の彩色多項式の次の変換を定義しましょう。 $G_n$ $$ \psi_{G_n}(x) = \frac{x^{v(G_n)}}{e(G_n)^{v(G_n)}} \chi_{G_n}\left( \frac{e(G_n)}{x} \right). $$
推測は、固定実数ごとに $x \neq 0$、 我々は持っています $\psi_{G_n}(x) \to \exp(-x)$ なので $n$ 無限大になります。
グラフのいくつかのシーケンスの推測を確認しました。たとえば、 $G_n$ 完全グラフであること $K_n$、 にとって $G_n$ 上の木であること $n$ 頂点と $G_n$ のコレクションであること $n$ 独立したエッジ（ $2n$ 頂点）。
これがよく知られているかどうか誰かが知っていますか？
PS：条件が $v(G_n)$ そして $e(G_n)$正しいものです。これについてのコメントも大歓迎です。
回答
これは、おそらく誰かが厳密にすることができるヒューリスティックな議論です。私は書きます$v_n=v(G_n)$ そして $e_n=e(G_n)$。しましょう$$ \chi_{G_n}(x) = x^{v_n}-c_{n,v_n-1} x^{v_n-1}+c_{n,v_n-2}x^{v_n-2}-\cdots. $$ 私は固定のためにそれを主張します $k\geq 0$、 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n,v_n-k}}{e_n^k} = \frac{1}{k!}. $$ これを証明するには、次のことに注意してください（たとえば、Broken Circuit Theoremによって、 $c_{n,v_n-k}$ にエッジを追加すると増加します $G_n$）。 $c_{n,v_n-k}$ 以下の場合、その値によって制限されます。 $G_n$ はツリーであり、次の場合にその値によって上に制限されます。 $G_n$完全グラフです。主張された結果は、ツリーと完全グラフについて簡単に検証されます（後者の場合、第1種のスターリング数の既知の漸近解析を使用します）。おそらくもっと直接的な証拠がありますが、いずれにせよ、制限と合計を交換することを正当化することを心配しなければ、次のようになります。$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x^{v_n}}{e_n^{v_n}}\chi_{G_n}\left( \frac{e_n}{x}\right) = \sum_{k\geq 0} \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^k c_{n,v_n-k}x^k}{e_n^k} $$ $$ \qquad = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \exp(-x). $$