最初のHK定理と2番目のHK定理の関係は何ですか？
最初のHohenberg-Kohn（HK）定理：外部ポテンシャル$v(\vec{r})$ 自明な加法定数の範囲内で、基底状態の電子密度によって決定されます $\rho(\vec{r})$。
基本的な量子力学から、私たちはそれを知っています： $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$。最初のHKの定理によれば、さらに次のことがわかります。$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$。本質的に、最初のHKの定理は、外部ポテンシャルと基底状態密度の間の1対1のマッピングを証明します。$\rho$ 多電子系で。
2番目のHK定理：密度の普遍的な関数が存在します、$F_{HK}[\rho']$、そのような $N$-表現可能な密度（$\textit{i.e.}$、の波動関数に由来する密度 $N$-電子システム） $\rho(\vec{r})$、与えられた数の電子を生成します $N$、エネルギー汎関数は、 $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ その中で $E_g$ は基底状態のエネルギーであり、密度が $\rho'(\vec{r})$ は、おそらく縮退した基底状態の密度です $\rho_0'(\vec{r})$ 外部電位のために $v(\vec{r})$。
2つのステートメントから、2つの定理の間に関連性は見られません。では、2つの定理の関係は何ですか？場合$F_{HK}(\rho')$は基底状態密度の関数であり、2つの定理の間に接続を構築できます。しかし、密度は$F_{HK}[\rho]$ 基底状態の密度は必要ありません。
- 最初のHK定理について： http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
- 2番目のHK定理について： https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub
回答
あなたの表記法を使用して、ユニバーサル関数の定義は次のとおりです。
$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$
どこ $\hat{T}$ そして $\hat{W}$それぞれ、運動演算子と電子-電子相互作用演算子です。この定義は、密度とそれに対応する基底状態の波動関数の間の1対1のマッピングのために可能です（つまり、$\psi_0$ の機能です $\rho$）、これはあなたが求めているつながりだと私は信じています。
正式な関係は、最初の定理が2番目の定理の証明に使用されることです。確かに、2番目はその原則の翻訳です$E[\Psi']$ 正しい基底状態の波動関数で最小値を持ちます $\Psi$、1対1の対応を使用 $\rho \leftrightarrow \Psi$ 最初の定理から知られています。
派生は、KohnとHohenbergによる元の論文（パートI-2）にあります。とても短くて読みやすいので、一見の価値があります。