最初の無限序数のステータス $\omega$ 非標準分析の範囲内ですか？
パンデミックの間に新たに発見された自由時間で、私は非標準分析を研究してきました。私は限外フィルターがあまり好きではなかったので、ネルソンの内部集合論とフルバセック集合論に引き寄せられました。私は後者の方が好きですが、ネルソンの仕事の経験が豊富なので、ISTの観点から説明します。
私は集合論における序数の基本的な知識を持っています。 $\omega$最初です。セットがISTのどこに収まるのか知りたい。それは単に標準的な超有限数ですか？直感的に、$\omega > n$ すべての自然数に対して $n$、私はそれを仮定させた $\omega$ のメンバーになることができます ${}^*\mathbb{N}$、これはこれらの自然数の定義プロパティであるため。私は、命題2.1で次のことを証明した標準的な超有限整数について言及している論文（Taras Kudryk et al。、2004）を見つけました。
が存在します $\mathbf{standard}$ R-無限[すなわち ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$]超自然的な数。
私が理解しているように、標準述語を参照せずにZFCで一意に定義されたすべてのセットは標準です。したがって、最初の超限序数$\omega$標準セットです。これで、私はそれを証明したいと思っていました$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$。しかし同時に、超有限の自然数は存在しないことを思い出します。これは、$\omega$ は最小の序数です。
この時点で、集合論に関する私の経験の欠如がおそらく示されています。の違いを議論する質問を見て$\omega$ そして $\mathbb{N}$私はここで頭を抱えているかもしれないことに気づきます。集合論とその非標準の拡張についての経験が豊富な人から、いくつか説明をいただけますか？どこでやる$\omega$ （そして実際には一般的な序数）ISTに適合しますか？
回答
最小の超限フォンノイマン序数 $\omega$ との要素 ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$まったく異なる種類のオブジェクトです。「しますか$\omega$ セットに属する ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$？」はあまり意味がありません。「グループは $S_3$ セットが含まれています $\mathbb{R}$ 要素として？」はあまり意味がありません。
後者の質問に対する答えが技術的に「はい」である状況を調整することができます。たとえば、グループを定義することによって$S_3$ 基礎となるセットを持つグループとして $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ 九九付き
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
それだけではありません $\mathbb{R} \in S_3$、しかしそれも $\mathbb{R}$ の単位元です $S_3$。もちろんこれは無意味な技術であり、グループ間の数学的関係と間違えられるべきではありません$S_3$ と実数 $\mathbb{R}$。
拡張機能の構造によって異なります ${}^*\mathbb{N}$、あなたは同様に作るように手配することができます $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ ホールド、しかしそれはあなたに序数について何も教えません：あなたは例えばを手配することができます $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ まったく同じように。
それが邪魔にならないように、序数の自然な数学的方法はありますか $\omega$いくつかの固定された非標準の自然数に対応しますか？その質問への答えはノーであり、「固定された非標準の自然数」を「の固定された標準要素」に置き換えても、それはノーのままです。${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ どこ ${}^*\mathbb{N}$ のいくつかの標準的な過伸展を示します $\mathbb{N}$「（実際、両方の形式に慣れるまで、これらのISTとロビンソニアンNSAの混合概念を避けることをお勧めします）。
「具体的な」非標準の数値を取得することについての暗黙の質問についても同じことが言えます。ISTの公理を使用して具体的な非標準の数値を特定することはできません。非標準の数値を作成する唯一の方法は、理想化を使用することです（ISTから理想化の公理を省略した場合、すべてのオブジェクトが標準であるという結果のシステムと一致します）。理想化によるすべての仕様（基本的にすべての非標準）でISTのモデルを作成できます。分離された1タイプ）は、モデルの少なくとも2つの異なる要素によって実現されます。