サイズの軌道を理解する方法 $1$ この場合
私は群論の自習初心者ですので、簡単な答えが得られるかもしれないこの質問に耐えてください。与えられた$p$-グループ $G$ いくつかのプライムのために $p$、しましょう $H$ のサブグループになる $G$。しましょう$X$ のすべての共役の集合である $H$。
さて、 $H$ に作用する $X$活用によって。少なくともあると読んだ$p$ サイズの軌道 $1$ に $X$。
サイズのある軌道の一例 $1$ です $\{H\} \in X$。この例は次のようになります$aHa^{-1}=H$ のために $a \in H$ 以来 $H$ はサブグループであり、 $\text{Orb}(H)=H$。
しかし、私はそれ以来それを読みました $p$ プライムです、少なくともあること $p-1$ サイズの他の軌道 $1$。だから別の軌道があるはずです$gHg^{-1} \neq H$ サイズの $1$ に $X$。
私が理解していないのはどのように $gHg^{-1}$ サイズの可能性があります $1$ の行動の下で $H$。これはそれを意味するべきではありません$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ そして $\text{Orb}(gHg^{-1})$ 必ずしも等しいとは限りません $gHg^{-1}$。ただし、サイズが必要です$1$、つまり $\text{Orb}(gHg^{-1})$ 実際には等しいはずです $gHg^{-1}$。
参考までに、この結果は、追加の条件が課されていないRotmanの定理4.6からのものです。 $H$ そして $G$ それ以外で $H$ のサブグループです $p$-グループ $G$ ...ここで何が欠けていますか？
回答
最初に注意することは、 $|X| = 1$ その後、私たちは持っていません $p-1$ 他の軌道なので、私たちも仮定する必要があります $|X| \gt 1$。
軌道の次の2つのプロパティを使用して、ステートメントを証明します。
軌道は互いに素であり、それらの結合はセット全体です $X$ （これは見やすいはずです）。
軌道サイズは群の位数を分割します（これは軌道安定化定理で証明されています）
プロパティ（1）によって、 $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ どこ $\mathcal{O}$アクションのすべての軌道を含むセットです。今、私たちは分割します$\mathcal{O}$ 2つの互いに素なサブセットに： $\mathcal{O'}$ そして $\mathcal{O''}$ どこ $\mathcal{O'}$ サイズのすべての軌道のセットです $1$ そして $\mathcal{O''}$ より大きいサイズのすべての軌道のセットです $1$。これの意味は$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ 以来 $|Y'| = 1$。プロパティ（2）により、次のことがわかります。$|Y''|$ 分水界 $|X| = p^n$ そして $|Y''| > 1$ つまり、 $|Y''| = p^k$ どこ $k > 1$ つまり、 $p$ 分水界 $|Y''|$。見ることができます$X$ 群作用が群による活用である軌道として $G$。この意味は$|X|$ 分水界 $|G| = p^n$。以来$|X| > 1$ 私たちはそれを持っています $p$ 分水界 $|X|$。以来$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$、 $p$ また分割する必要があります $|\mathcal{O'}|$ つまり、 $|\mathcal{O'}| = pm$ いくつかのための $m \gt 1$ つまり、 $|\mathcal{O'}| \geq p$ それが私たちが証明しようとしていたことです。