整関数の成長率

Question

しましょう $f(z)$ 次のような整関数である $|f(z)|\geq |z|^a$ に $\overline{D}$ いくつかのための $a\in\mathbb{R}$ と $0<a<1$。証明してください$|f(0)|\geq 1$

機能を考えています $g(z) = \frac{z^a}{f(z)}$。場合$f(0)\neq 0$、この関数は分析的です $D$、そして私たちは $g(0)=0$、 $|g(z)|\leq 1$ に $D$。シュワルツの補題、$|g(z)|\leq |z|$ に $D$、 それゆえ $\frac{1}{|f(z)|}\leq |z|^{1-a}< 1$ いつ $0<|z|<1$。したがって、$|f(z)| > 1$ ために $z\in D\backslash\{0\}$。継続性により、$|f(0)|\geq 1$。

しかし、私はケースを処理する方法がわかりません $f(0) = 0$ （の唯一の可能なゼロ $f$ に $D$ です $0$）。質問が示すように、これは矛盾につながるはずです。

Answer 1

状態 $|f(z)|\geq |z|^a$ ことを意味します $|f(z)|\geq 1$ ために $|z| = 1$。場合$f$ 単位円板にゼロがない場合、最大絶対値の原理をに適用できます。 $1/f$、 そのため $$ \frac{1}{|f(0)|} \le \max \{ 1/|f(z)| : |z| = 1 \} \le 1. $$

あなたが言ったように唯一の可能なゼロ $f$ にあります $z=0$。しかしその後$f(z) \sim cz^n$ ために $z \to 0$ 一部で $c \ne 0$ および正の整数 $n$、 そのため $$ \frac{|f(z)|}{|z|^a} \sim c |z|^{n-a} \to 0 $$ ために $z \to 0$、仮定に反して。

考慮しているあなたのアプローチ $g(z) = z^a/f(z)$ 動作しないので $z^a$ の正則関数として定義することはできません $0 < a < 1$。