制限の定義を使用する

Question

私はそれを証明する必要があります $\lim_{x\to 0}\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{b}{d}$ 𝜖、𝛿スタイルの証明を使用する

これを行う方法についてのアイデアはありますか？

Answer 1

ヒント：違いを考慮してください $\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right|$ もちろん、分数の自然条件を想定して、推定してみてください。 $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| = \left|\frac{x(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|= |x|\left|\frac{(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|$$ 簡単にするために、仮定しましょう $c,d>0$、そして、持っている $-\delta<x<\delta$ 私達は手に入れました $-c\delta+d<cx+d<c\delta+d$。だから、私たちはそのようなことを考えることができます$\delta>0$ そのために $|cx+d|>M>0$。たとえば、$\delta >\frac{d}{2c}$ 与える $|cx+d|>\frac{d}{2}$ だから私たちは $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| < \delta\frac{2|ad-bc|}{d^2}<\varepsilon$$。これは2番目の条件です$\delta$ そして最初の仕上げの証拠と結合します。