せいぜい面積と三角形 $\frac{7}{12}$。

Question

あると仮定します $75$3つの点が同一直線上にないような単位立方体内の点。上記の点から、最大で面積と三角形を形成する3つの点を選択できることを証明します。$\frac{7}{12}$。これらの与えられたデータから三角形の面積を取得するにはどうすればよいですか？助けてください。前もって感謝します。

Answer 1

単位立方体を27個のサイズの立方体に分割します $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$。

鳩の巣原理によ​​り、これらの立方体の1つには75点のうち3点が含まれています。与えられた条件から、これらの点は同一線上にありません。だから彼らは三角形を形成します

側面の立方体で $a$、それに収まることができる三角形の最大面積は $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$。

サイド用 $\frac{1}{3}$、 これは $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

したがって、これらの3つの点は、以下の面積の三角形を形成します。 $\frac{7}{12}$

Answer 2

ポイントを選ぶ $(0,0,0)$ そして $(1,1,z)$ そして $(1,1,0)$。この三角形の面積は$\frac{z}{\sqrt 2}$。

今選択 $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

残りの72ポイントを配置する方法は無限にあるため、3つのポイントが非共線にならないようにする方法が存在する必要があります。

残りの点は、例えば平面内にある可能性があります $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ 円形を形成します。