積分を計算する複素解析

Aug 21 2020

I =$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$ 間の間隔です $\omega_1=0$ そして $\omega_2=1+2\mathrm i$

上記の積分を計算するにはどうすればよいですか?この質問についてのプロセスはありません。私は`それについてごめんなさい。

回答

3 Vercassivelaunos Aug 20 2020 at 22:12

定義を適用するだけです。 $D\subseteq\mathbb C$$\gamma:[a,b]\to D$ 滑らかな曲線のパラメータ化であり、 $f:D\to\mathbb C$、その後

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

あなたの場合、 $\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$ は適切なパラメータ化であり、 $f(z)=\operatorname{Im}z$。すべてを接続する:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

あとは自分でできると思います。