線形写像の合成はいつですか同型

Question

しましょう $T:V\rightarrow W$ そして $L:W\rightarrow U$ 有限次元間の線形写像である $\mathbb{R}$-ベクトル空間。いつ知りたいのか$L\circ T:V\rightarrow U$ 同型です。

私の仮説は $L\circ T$ である場合に限り、同型です $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$。（これはつまり$Im(L) \cap Ker(L)={0}$）。

これが私が遠くまで得たものです、この投稿によって私たちはそれを知っています$L$ 単射でなければならず、（二重に議論して）私たちはそれを見つけます $T$全射でなければなりません。だから、分裂補題を適用する：私たちは書く$W\cong V\oplus U$。以来$T$ 単射で線形です $V\cong Im(T)$。さて、$L$ 全射である場合 $Im(T)$ 交差する $\ker(L)$ 自明ではない（つまり、 $0$）その後 $Im(L)$ 厳密に低寸法です $U$; それは全射ではありえません。したがって、$Im(T)\cap \ker(L)={0}$。逆の方向は明らかです。

私の議論は次の場合にも当てはまりますか $L\circ T$ 単射だけですか？

Answer 1

この状況では、分裂補題は適用されません。またのために$L \circ T$ 全単射になる $L$ 全射である必要があり、 $T$ 単射。

次のステートメントは、マップのすべての構成に当てはまります。 $L \circ T$ 全単射である $T$ 単射であり、 $L|_{im T} $全単射です。線形マップを見ると、これは次のように解釈されます。

$L \circ T$ 全単射である $T$ 単射です、 $L$ 全射と $im(T) \cap ker(L) = {0}$