セットの順列

Question

セットの順列について質問があります。それは次のとおりです。

問題：サンプルスペースを許可する$X$ の順列のセットである $\{1,2,3,4,5\}$、順列 $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ オブジェクトの割り当てを表します。 $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ 我々は持っています $n_i=j$ 人なら $i$ 人がオブジェクトを受け取る $j$。さらに$i\in \{1,2,3,4,5\}$。イベントを定義する場合：

$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$

私の混乱：たとえば、サンプルスペースで、このセットが持つ要素特性の定義されたセットの下にこれらの要素をリストする方法がわかりません$X$、 できる $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$

そうでない場合、値 $n_1$、 $n_2$、...取ることができます $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ したがって、サンプル空間の1つの可能な要素は次のとおりです。 $(2,3,4,5,1)\in X?$。

しかし、セットでは $A_i,$ 今、新しい条件があります $n_i=i$、それはセットを意味します $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$。私はの定義について少し混乱しています$n_i=i$ セットで $A_i,$ と要素の数 $A_1, A_2,...,A_5$が含まれています。セットの要素を説明したり見つけたりするのを誰かが手伝ってくれますか$A_i$、または単なる例$ A_1$ そして $A_2?$ 私はそれをお願い申し上げます。

Answer 1

セットからそれ自体への全単射関数としての順列の定義を使用すると（各文字が一度使用される文字列の関連する定義などではなく）、次のようになります。$A_1$ の順列のセットです $\{1,2,3,4,5\}$ そのような $1$ にマッピングされます $1$。

同様に、順列の定義を文字列として使用すると、 $A_1$ の順列のセットです $\{1,2,3,4,5\}$ そのような $1$ 最初の位置にあります。

これには以下が含まれますが、これらに限定されません $12345, 13524, 15243,\dots$ のようなものは含まれていません $23451$ または $54321$ 以来 $1$ 最初の位置になく、さらに次のようなものが含まれていません $11111$ または $67890$ これらはの順列ではないので $\{1,2,3,4,5\}$（最初の文字は1回だけ使用できるため、最初の文字は順列になりません。2番目の文字は正しい基本セットからのものではないため失敗します。同様に、最初の文字は全単射ではなく、2番目の終域は間違っていました。）。

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それから話す価値があります $A_1\cap A_2$これは、第1項と第2項を同時に固定点として持つ順列です...次のようなものが含まれています$12345, 12543, 12453,\dots$、最初の位置は必ず $1$ そして2番目の位置は必然的に $2$。

また、一見の価値があります $A_1^c$、次のような順列のセット $1$不動点ではありません。

最後に、かなり重要なのはセットです $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$、上の順列のセット $\{1,2,3,4,5\}$どの要素も固定点ではないように。不動点のない順列を完全順列と呼びます。

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これらを数えることに関しては、 $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$通常のように製品のルールで直接アプローチします。値が強制されていない位置については、その位置に表示される要素を選択し、そのような選択を以前に行ったオプションの数に注意してください。あなたはそれを持っています$|A_1|=4!$ それ $|A_1\cap A_2|=3!$ 等々。

これらの観察結果を包含-除外と組み合わせると、混乱の数を計算することもできます。これは、自分で終了するか、リンクされた記事で読むために私があなたに任せているものです。混乱の数を計算することは、あなたが取り組んでいる現在の質問の後の部分であるかもしれないし、これらは非常に密接に関連しているので、これを完了した直後に尋ねられる質問でさえあるかもしれないと私は強く疑っています。

Answer 2

いいえ、注意してください $i$セットの特性の外側で定義されます。つまり$i$セットごとに固定されています。そう$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$ また、タプルが含まれている必要があることに注意してください $X,$ そして $(1,1,1,1,1)$順列ではありません。

順列によって、すべての要素を使用する必要があることを意味するかどうかは明確ではありません$\{1,2,3,4,5\}.$ もしそうなら、あなたは得るでしょう $(5-1)!$ の要素数として $A_1$ あなたが最初のものを修正しているので、それからあなたは持っています $4$ 2番目の選択肢、そして $3$選択肢...

繰り返しを許可すると、次のようになります$5$ 残りのそれぞれの選択肢 $4$ ポジションがあるので、 $5^4$ の要素 $A_1.$