しましょう $\mathbf a$ そして $\mathbf b$3Dベクトルである。見つける $3\times3$ マトリックス $\mathbf R$ そのような $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$。

Question

タイトルがこれを見つけようとしていると言っているようにこんにちは。

しましょう $\mathbf a$ そして $\mathbf b$3Dベクトルである。見つける$3\times3$ マトリックス $\mathbf R$ そのような $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$。

私の演習によると、答えは

$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$

私はこの解決策に到達することができませんでした、そして私は何とか到達することができました

$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ と私は置き換えることができます $ a_{||b} $ 行列積としての表現 $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ これは外積なので $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$

これから私は得ることができます $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ これは私が得ることができた限りであり、最後の方程式を最初に得るために必要なステップがわかりません。

誰もが提供できる洞察に感謝します。

Answer 1

最後のいくつかのステップは $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ そのことに注意してください $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$。そう$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ したがって、 $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$