システムのトレースを明示的に見つける

Nov 29 2020

システムAとベースで構成される共同システムで作業していると考えてください $|\alpha_j\rangle$ およびシステムB $|\beta_j\rangle$。

私のメモでは、密度演算子は次のように示されています。

$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

それによって私のメモは次のように述べています $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$

また、AのトレースとBのトレースについて次の式を示しています。 $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$

$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$

私の主な質問は、どのように書き出すかです $\rho_{j,l,k,l}$ そして $\rho_{j,l,j,m}$ 私が得たものが私の本の実際の例と一致していないように思われるので、私はかなり混乱しています。

ありがとう

回答

2 J.Murray Nov 29 2020 at 22:46

私が自分でそれをするなら、私はそれを次のように書くでしょうから。 $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ しかし、私が見た実際の例は次のことを示唆しているので、私は確信が持てません $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $。

状態のテンソル積のアイデアを誤解しているようですので、簡単に確認します。しましょう$\mathcal H_A$ そして $\mathcal H_B$ ヒルベルト空間になり、 $\alpha \in \mathcal H_A$ そして $\beta \in \mathcal H_B$。のテンソル積$\alpha$ そして $\beta$ 順序対です $(\alpha,\beta)$ これには次のプロパティがあります。

$(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ すべてのために $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
$(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ すべてのために $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
$\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ すべてのために $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$

書くのではなく $(\alpha,\beta)$ テンソル積の場合、次のように書くのが標準的な表記法です。 $\alpha \otimes \beta$。

ヒルベルト空間のテンソル積 $\mathcal H_A$ そして $\mathcal H_B$ フォームのすべてのテンソル積の空間です $\alpha\otimes \beta$ と $\alpha\in\mathcal H_A$ そして $\beta \in \mathcal H_B$、およびそのすべての線形結合。この空間の内積は

$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$

したがって、要素 $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ 次のように見えるかもしれません

$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$

定義から明らかなことは $\alpha$ そして $\gamma$ に属する $\mathcal H_A$ 一方 $\beta$ そして $\delta$ に属する $\mathcal H_B$。再び標準的な慣習に従って、シンボルを再利用します$\otimes$ ヒルベルト空間のテンソル積を $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$。

慣例では、ブラジャーであろうとケッツであろうと、テンソル積の最初の量はに属します $\mathcal H_A$ （またはその双対空間）そして2番目はに属します $\mathcal H_B$ （またはその双対空間）。

とはいえ、あなたの表現

$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$

右側のテンソル積のケットの順序が間違っているため、私には意味がありません。

1 glS Nov 30 2020 at 17:41

まず第一に、あなたが理解する方法に注意する必要があります $\rho_{ijk\ell}$何よりもまず慣例の問題です。とは言うものの、いくつかの慣習は確かに他のものより「自然」です。

それについて考える1つの方法は、 $\rho$ 複合空間で $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$それ以外の何物でもありません：ある空間の行列コンポーネント。インデックスを使用する場合$I,J$ の基底の要素にラベルを付ける $\mathcal H$、マトリックスコンポーネントは次のように記述できます。 $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ ただし、この表記では、の2部構造は考慮されていません。 $\mathcal H$。これを行うために、私たちは常にの基礎を見つけることができることを観察します$\mathcal H$ それはの基盤から構築されています $\mathcal X$ そして $\mathcal Y$。したがって、の基本要素にラベルを付けることができます$\mathcal H$2つのインデックスを使用して、の対応する基本要素を示します。$\mathcal X$ そして $\mathcal Y$。言い換えれば、私たちは書くことができます$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ 次に、インデックスの代わりに $I$、たとえば、インデックスのペアを使用します $(i,j)$。の行列要素$\rho$ その後になる $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$ここでは、式を記述するためのさまざまな同等の方法を含めています。の「入力」インデックスと「出力」インデックスを記述したことに注意してください。$\rho$ ペアを使用する $(i,j)$ そして $(k,\ell)$ここでは、インデックスが持つさまざまな役割を強調します。簡潔にするために、通常これを行うことはなく、単に書き込みます$\rho_{ijk\ell}$ 意味する $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$。

今、あなたはまた使用することを決めることができます $\rho_{ijk\ell}$ のような意味に $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$。しかし、それはかなり厄介な表記になります。