証明してください $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [複製]

Dec 05 2020

誘導を使おうとしましたが、P(n)が真であると仮定した後、P(n + 1)も真であることを証明することはできません。私も中間の不等式を見つけようとしましたが、どの不等式から始めるべきかわかりません。

有用と思われるものは、P(n)を取り、それを乗算することでした $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$、したがって私はこれに来ました

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

しかし、誰もが想像できるように、私はそれを証明しようとしたので矛盾しました $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ これは誤りです。

それが役立つだろうどんな助けでも。

回答

Bumblebee Dec 05 2020 at 03:30

事実を利用する $1+x\le e^x$ すべての本物のために $x,$ 我々は持っています $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$今、という事実を使用してください$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$