証明する $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot…\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n}}$ すべてのために $n$。
すべてを証明する $n$: $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n}}$。
誘導を使用して、私は脳死の方法を試し、まっすぐに行きました $$\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3n}}<\frac{1}{\sqrt{3n+3}}$$ $$...$$ $$1<0.$$恥ずかしい思いをした後、周りを見回してこのスレッドを見つけました。誘導を使用すると、簡単に証明できます$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}<\frac{1}{\sqrt{3n}}.$$これにより、元の問題が発生します。しかし、問題解決の観点から、どのように使用すると思いますか$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$?このアイデアにつながる最初の誘導にいくつかのポイントはありますか?または、上記よりも優れた方法はありますか?
回答
書く $a_n$ のために $n$シーケンスの第3項。の正方形を見てください$a_n$、分子を1つ左に回転させます。から$n=2$ あなたが観察する $$ a_2^2=\frac12\frac12\frac34\frac34=\frac12\left(\frac32\frac34\right)\frac14\\ a_3^2=\frac12\frac12\frac34\frac34\frac56\frac56=\frac12\left(\frac32\frac34\right)\left(\frac54\frac56\right)\frac16\\ a_4^2=\frac12\frac12\frac34\frac34\frac56\frac56\frac78\frac78=\frac12\left(\frac32\frac34\right)\left(\frac54\frac56\right)\left(\frac76\frac78\right)\frac18 $$等々。不平等$1+x\le e^x$ その後、 $$ a_2^2\le \frac18 \exp\left(\frac18\right)\\ a_3^2\le\frac1{12}\exp\left(\frac18+\frac1{24}\right)\\ a_4^2\le\frac1{16}\exp\left(\frac18+\frac1{24}+\frac1{48}\right) $$ そして一般的に $n\ge 2$ $$a_n^2\le \frac1{4n}\exp\left[\frac14\left(\frac12+\frac16+\frac1{12}+\cdots+\frac1{n(n-1)}\right)\right].$$ シリーズ $\frac12+\frac16+\frac1{12}+\cdots+\frac1{n(n-1)}$ 望遠鏡 $1$、降伏 $$a_n^2\le \frac{e^{1/4}}{4n}$$ これも当てはまります $n=1$。以来$e^{1/4}\approx 1.284 < 4/3$、これは証明します $a_n^2< \frac1{3n}$。
そのことに注意してください $$\frac{1}{\sqrt{an+b}} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{1}{\sqrt{a(n+1)+b}} \\ \iff (a(n+1)+b)(2n+1)^2 \le (2n+2)^2 (an+b) \\ \iff an+a-4bn-3b \le 0$$
したがって、 $a=3$、その後 $b=1$うまくいくだろう。もちろん、最初のケースを証明する必要があります($n$= 1)。
ところで:最初の2つの答えが得られたことはどれほど素晴らしいことですか $e$ そして $\pi$、それぞれ。
最初のアプローチ $$ \begin{align} n\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2 &=\frac14\prod_{k=2}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2\frac{k}{k-1}\tag{1a}\\ &=\frac14\prod_{k=2}^n\frac{2k-1}{2k}\frac{2k-1}{2k-2}\tag{1b}\\ &=\frac14\prod_{k=2}^n\frac{\color{#C00}{k-1/2}}{\color{#090}{k}}\frac{\color{#75F}{k-1/2}}{\color{#C90}{k-1}}\tag{1c}\\ &=\frac14\color{#C00}{\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(3/2)}}\color{#090}{\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(n+1)}}\color{#75F}{\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(3/2)}}\color{#C90}{\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(n)}}\tag{1d}\\[3pt] &=\frac1\pi\frac{\Gamma(n+1/2)^2}{\Gamma(n+1)\,\Gamma(n)}\tag{1e}\\[3pt] &\le\frac1\pi\tag{1f} \end{align} $$ 説明:
$\text{(1a)}$:引っ張る $k=1$ 前に出て持って来る $n$ 伸縮製品としての内部
$\text{(1b)}$:用語を並べ替える
$\text{(1c)}$:分子と分母をで割る $2$
$\text{(1d)}$:を使用して、ガンマ関数の比率として積を記述します。 $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$
$\text{(1e)}$:を使用して用語を収集する $\Gamma(1)=\Gamma(2)=1$ そして $\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$
$\text{(1f)}$: $\Gamma(x)$ 対数凸です
したがって、私たちはより強くなります $$ \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\le\frac1{\sqrt{\pi n}}\tag2 $$
より良いバウンドを備えた少しシンプルなアプローチ $$ \begin{align} \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k} &=\prod_{k=1}^n\frac{(2k-1)2k}{4k^2}\tag{3a}\\ &=\frac1{4^n}\binom{2n}{n}\tag{3b}\\ &\le\frac1{\sqrt{\pi\!\left(n+\frac14\right)}}\tag{3c} \end{align} $$ 説明:
$\text{(3a)}$:分子と分母にを掛ける $2k$
$\text{(3b)}$: $\prod\limits_{k=1}^n(2k-1)2k=(2n)!$ そして $\prod\limits_{k=1}^n2k=2^nn!$
$\text{(3c)}$:不平等 $(9)$この答えから
実際、不等式を使用する $(9)$この答えから、私たちは得ます$$ \frac1{\sqrt{\pi\!\left(n+\frac13\right)}}\le\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\le\frac1{\sqrt{\pi\!\left(n+\frac14\right)}}\tag4 $$