集合論でこのステートメントを証明する方法は？

Question

私はそれを証明する必要があります $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$

証明している間、私は分布を使用して、左の方程式セットの両側を交差させようとしていました $\bar{B}$。それはのために働く$\Rightarrow$、しかしわからない $\Leftarrow$

私の心が間違っている場合は、少なくとも1つのヒントを得るのが良いでしょう。アドバイスありがとう

Answer 1

1. 仮定する $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$ 保持し、 $x \in C$。次に$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$ したがって、 $x\in A$。

2. 場合 $C \subset A$、その後 $A\cap C=C$ そう $$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$

Answer 2

„$\Rightarrow$」 $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$。したがって、$A\cup C=A$、CがAにあることがわかります。$\Leftarrow$」。場合$C$ にあります $A$、その後 $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$、そしてすべて完了しました。

Answer 3

$ \Leftarrow $さらに簡単です。それを示す$ x \in LHS $ その後 $ x \in RHS $およびその逆。その事実を使用して$ C \subset A $、考慮すべきケースは多くありません。