測度理論におけるほとんどすべての収束に関する問題

Question

次の問題で問題が発生しています

しましょう $(X, \mathcal{F}, \mu)$ 測度空間 $\mu (X)<\infty.$ しましょう $f,f_n:X \to \mathbb{C}$測定可能であること。セットする$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ どこ $a_n>0$ そして $a_n \to 0$。それを示す$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ その後 $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

私はこの問題をたくさん試してきました。たとえば、私はそれを見せようとしました$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ すべてのために $\varepsilon>0$ 事実を $\mu(A_n) \to 0$ （級数が収束しているため）そしてそれを仮定することさえ $(a_n)$厳密にデクラッシングすることができます。私の「より近い」試みで、私はすべてのことを示しました$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ 無限に多くのセットに含まれています $A_n$。しかし、結局、それは機能しませんでした。

私が試みたすべての試みで、私は「私は解決策に非常に近い」と思いました...しかし、何かが失敗しました。

この問題の解決を手伝っていただけませんか。

Answer 1

まず、そのセットが $f_n$ に収束しません $f$ 測定可能であり、次のように書くことができます $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

ここで、表示することに注意してください $f_n\to f$ ほとんどどこでもそれを示すことと同等です $A$ 対策があります $0.$ これを行うために、私たちは最初にそれを観察します $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

以来 $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ を選択することにより、有限です $k$ 大きく、作ることができます $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$任意に小さい。その結果$\mu(A)=0.$